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In questo topic intendo confrontare le due distribuzioni di vento generalmente adottate nella progettazione di turbine eoliche:
la distribuzione di Weibull (di cui si è parlato in altri topic di questo forum) e la distribuzione di Rayleigh di cui si è fatto cenno in un recente topic sulle verifiche a fatica di una torre eolica.
Al termine dell'analisi delle due distribuzioni, spero di pubblicare un file excel con entrambe le distribuzioni.Attached Image
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Inizio riportando le formule indicate nella norma IEC61400
Le formule riportate sono quelle relative alla densità di probabilità cumulata.
Dalle note si legge che la distribuzione di Rayleigh è ottenuta da quella di Weibull ponendo il parametro k uguale a 2 ed il parametro C rispetta la condizione:
C= 2*Vm/√π
mentre nella distribuzione di Weibull il parametro C è legato alla velocità media attraverso la relazione:
C=Vm /Γ(1+1/k)
in cui si indica con Γ() la funzione "gamma di Eulero".
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Le funzioni di densità di probabilità delle due distribuzioni si scrivono come segue:
Weibull:
=\frac{k}{C^{k}}*v^{k-1}*e^{-(\frac{v}{C})^{k}})
Rayleigh:
=\frac{\pi&space;*v}{2*v_m^{2}}*e^{-\pi&space;*(\frac{v}{2*v_m})^{2}})
Vediamo quindi che la distribuzione di weibull dipende dai due parametri vm e k (il parametro C si determina dalla velocità media attraverso la funzione gamma di Eulero), mentre quella di Rayleigh dipende dal solo parametro vm dato che i restanti due parametri, k e C, sono fissati, il primo al valore k=2 ed il secondo al valore C=2*vm/radq(PI).
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Questo significa che utilizzando la distribuzione di Rayleigh (che è quella consigliata nelle IEC61400) ci svincoliamo dal parametro k e l'unico parametro che ci serve è la velocità media vm.
Questo è pienamente legittimo nei casi comuni in cui non si hanno a disposizione dati anemometrici sufficienti a poter costruire una funzione di densità di probabilità e quindi poter ricavare il parametro k relativo al sito in esame.
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Detto quanto sopra detto, vediamo di creare un foglio in Excel in cui costruire il diagramma della funzione di densità di probabilità e il diagramma della densità di probabilità cumulata (diretta ed inversa).
Predisponiamo le celle dedicate a contenere i parametri vm, k , C. In realtà sappiamo che C non è un parametro indipendente, ma ci servirà comunque stabilirne il valore che sarà richiamato numerose volte nelle celle che costituiranno la tabellà [v, f(v)]
Ecco che sorge il primo problema: la determinazione del parametro C dopo aver fissato vm e k avviene attraverso la funzione gamma di Eulero.
Purtroppo la funzione gamma() non è implementata nelle versioni di Excel antecedenti alla 2013, quindi assente sia in excel 2007 che in Excel 2003.
Potremmo risolvere la questione scrivendoci una funzione UDF gamma() da noi. Forse un giorno la farò, ma adesso non mi sembra proprio il caso.
Ci viene in aiuto la presenza della funzione LN.Gamma() che determina il logaritmo della funzione gamma. E' sufficiente quindi ricorrere in cascata alla funzione LN.GAMMA() e poi porre il risultato come esponente di e.
GAMMA(1+1/k) = e[LN.GAMMA(1+1/k)]
La cella relativa al parametro C contiene proprio questa funzione.
Fatto questo non ci resta che predisporre una tabella con la variabile v in una prima colonna ed il valore della funzione P(v) nella colonna accanto. Qualcosa del genere.
Qui ho inserito ulteriori colonne che serviranno quando dovremo calcolare la densità di probabilità cumulata diretta ed inversa.
Noterete anche la presenza di una colonna con l'intestazione "a mano.
Questa è dovuta al fatto che excel contiene già la funzione precostituita WEIBULL(v,k,c,flag) che restituisce il valore della densità di probabilità per fissati parametri di ingresso v,k,c,flag (il parametro flag indica se si vuole la cumulata oppure no), ma io ho voluto comunque determinare il diagramma oltre che con la funzione precostituita anche "a mano" cioè ricorrendo alle formule esposte.
E' proprio nel tentativo di far uscire i valori scrivendo la formula che mi sono accorto di una stranezza nel comportamento di excel.
Scrivendo la formula:
=$P$4/$Q$4^$P$4*B7^($P$4-1)*EXP(-(B7/$Q$4)^$P$4)
Excel non ne vuole sapere di restituire il valore e dà sempre l'avviso #NUM. Non riesce a calcolare.
Spezzettando la formula nei suoi vari componenti scopro che l'impossibilità di excel a fare il calcolo si annida tutto nell'esponente del numero di Nepero. La parte che ho evidenziato in rosso.
Per fare uscire Excel da queste sue difficoltà occorre scrivere la formula come segue:
=$P$4/$Q$4^$P$4*B7^($P$4-1)*EXP(-1*(B7/$Q$4)^$P$4)
Dopo di che è andato tutto a posto con perfetta coincidenza dei risultati.
Basta creare un grafico a dispersione di punti ed il diagramma è costruito.
Edited by afazio - 16/3/2016, 22:06
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Come leggere questo diagramma?
Intanto, come ogni diagramma di densità di probabilità, sappiamo che l'area racchiusa dalla curva è pari a 1 (o in altre parole al 100%).
Se prendiamo per esempio il valore in corrispondenza della velocita v=5.00 m/s (che risulta P(5)=0.066 questo poco ci dice se non il fatto che la densità di probabilita di tale evento è pari a 0.066.
Più significativa è invece la lettura dell'area sottesa dalla curva fino all'ascissa v=5.00. Questa rappresenta la probabilità di non superamento di quell'evento.
Ebbene il diagramma delle densità di probabilità cumulate altro non è che il calcolo delle aree cosi come definite nell'immagine precedente al variare di v.
Dalla differenza di aree possiamo risalire alla probabilità che v stia all'interno di un range v0<v<v1
Questo è quanto si fa quando nell'analisi della turbina procediamo a discretizzare la velocità del vento con un determinato step.
La probabilità dello specifico range al passo generico la si determina proprio attraverso differenza delle aree, e quindi attraverso il diagramma della densità di probabilità cumulata, relative agli estremi del passo.
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Completiamo la tabella riempiendo le colonne relative alle cumulate (diretta ed inversa):
La funzione della densità di probabilità cumulata si scrive come:
=1-e^{-(\frac{v}{C})^{k}} "f(v)=1-e^{-(\frac{v}{C})^{k}}")
nella colonna della cumulata diretta, inseriremo la formula:
=1-EXP(-1*(B7/$Q$4)^($P$4))
mentre in quelle della cumulata inversa ne determiniamo il complemento ad 1. Mettiamo le due curve diversamente colorate nello stesso diagramma a dispersione di punti ed abbiamo anche il diagramma dei cumulati:
Adesso, volendo, possiamo arricchire il foglio con il calcolo delle probabilità di occorrenza di una velocita per fissato range.
Qui voglio solo annotare che i cicli riportati in questa tabella sono relativi a tempi di simulazione pari ad un secondo.
In realtà si procede fissando una durata di simulazione ben precisa (per esempio 120 secondi), determinado in questa simulazione il numero di cicli di ciascuna variazione tensionale e poi rapportando il tutto alla vita nominale.
Se per esempio in una simulazione di durata 120 secondi con vento compreso tra 12 e 14 m/s, per cui si ha probabilità pari a 0.0981, ottengo la seguente tabella:
12.5 volte ho la variazione di tensione pari a 50 MPa
8 volte ho la variazione di tensione pari a 45 MPa
16 volte ho la variazione di tensione pari a 40 MPa
allora il numero dei cicli nel corso della vita utile di 20 anni risultano:
0.0981*20*365*24*3600/120 * 12.5 = 6.45*106 cicli di variazione 50 MPa
0.0981*20*365*24*3600/120 * 8= 4.12*106 cicli di variazione 45 MPa
0.0981*20*365*24*3600/120 * 16 = 8.25*106 cicli di variazione 40 MPa
e cosi via.
Dal link che segue potete scaricare il foglio Excel fin qui composto:
Weibull-03
Prossimamente aggiungerò nello stesso foglio anche la distribuzione di Rayleigh.
Edited by afazio - 16/3/2016, 20:16
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Per poter avere un immediato confronto tra le due diverse distribuzioni, inserisco quella di Rayleigh nello stesso foglio in cui ho costruito quella di Weibull.
Ho quindi duplicato la tabella dei valori della densità di probabilità al variare di v e aggiunta due celle coi valori di k=2 e di C=2*vm/radq(PI) assunti in Rayleigh.
Naturalmente le colonne vanno riempite con le formule appropriate ricordando che la funzione della cumulata diretta per Rayleigh è:
=1-e^{-\pi&space;*(\frac{v}{2*v_m})^{2}})
Qui c'è da dire che Excel non possiede la funzione per la distribuzione di Rayleigh e quindi le formule le dobbiamo scrivere noi.
Mettendo i dati nei grafici a dispersione di punti otteniamo:
Infine possiamo anche duplicare la tabella con la determinazione dei cicli per fissati range di velocità:
Adesso possiamo divertirci a condurre tutti i confronti che vogliamo.
A breve pubblico il nuovo file che contiene entrambe le distribuzioni.
Edited by afazio - 16/3/2016, 20:45
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Come prima curiosità voglio capire cosa succede alla distribuzione di Weibull variando il parametro k.
La teoria dice che per k=1 si ottiene la distribuzione esponenziale. In effetti è cosi. Infatti variando la cella relativa a K otteniamo la familiare curva esponeziale:
La dicitura nel diagramma è rimasta "Weibull" ma in effetti dovremmo cambiarla in "esponenziale"
Per k=2 otteniamo la distribuzione di Rayleigh.
Mentre per k=1.5, K=1.8 e k=2.5 otteniamo le seguenti curve:
Vediamo che il massimo della curva si sposta verso destra e verso l'alto mentre il ramo ascendente della stessa inizia a flettersi. Che tenda alla distribuzione di Gauss?
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Seconda curiosità: che differenze tra la distribuzione di Rayleigh e quella di Weibull generalmente adottata in cui si assume k=1.8?
Ho messo insieme i due diagrammi sia di densità di probabilità sia delle cumulate dirette. Ecco quanto ottenuto.
Si può senz'altro affermare con solo analisi qualitative sui diagrammi (ma potremmo anche farle quantitative avendo la tabella coi dati [v, f(v)]
- la distribuzione di Weibull presenta una maggiore dispersione
- nella distribuzione di Weibull sono sovrastimate le basse velocità e sottostimate quelle alte.
In termini di cumulate si nota sempre lo stesso andamento, come è logico aspettarsi, ma le variazioni non sono tanto pronunciate.
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Terza curiosità:
Considerando una turbina di class I per cui la velocità estrema di riferimento è pari a 50 m/s e la velocità media deciminutale è pari a 10 m/s, che peso hanno nelle verifiche a fatica le alte velocità, cioè quelle in cui la turbina è ferma (v>vout=28 m/s) ?
Per capire il loro peso riporto la tabella con i cicli per sample(simulazione)=1 sec relativa a Rayleigh:
Qui possiamo vedere che già per velocità maggiori ai 28 m/s, il numero di cicli per simulazione pari ad 1 secondo è dell'ordine di 105 e che diminuiscono all'aumentare della velocità.
Per velocità maggiori di 38 m/s già il numero dei cicli scende all'ordine delle migliaia.
Per questi bassi valori di cicli il fenomeno della fatica non sussiste proprio e ce ne possiamo rendere conto leggendo le curve SN riportate in EC3.1.9:
Come vedete, anche per la più scarsa delle categorie di dettaglio, per N<= 104 la resistenza a fatica risulta maggiore delle resistenza "strutturale" dell'acciaio S275.
Per le categorie di dettaglio più alte questo limite puo' anche essere N=105 cicli.
Da questo si può concludere che a governare la verifica a fatica non sono i venti con alta velocità ma quelli a bassa velocità in genere compresa nel range di velocità di funzionamento della turbina.
Edited by afazio - 17/3/2016, 12:13
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CITAZIONE (afazio @ 16/3/2016, 13:44) ...
Purtroppo la funzione gamma() non è implementata nelle versioni di Excel antecedenti alla 2013, quindi assente sia in excel 2007 che in Excel 2003.
Potremmo risolvere la questione scrivendoci una funzione UDF gamma() da noi. Forse un giorno lo farò, ma adesso non mi sembra proprio il caso.
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Ho scritto la funzione gamma() sotto forma di UDF per excel e ne ho parlato nel topic " Tre virgola venticinque fattoriale"
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Altra curiosità riguardo alla distribuzione di Weibull.
Abbiamo visto che fa forma della curva di Weibull dipende proprio dal parametro k, appunto per questo denominato "parametro di forma", e che per k=1 avevamo la distribuzione esponenziale mentre per k=2 avevamo la distribuzione di Rayleigh.
Aumentando il parametro di forma per k>2, avevamo visto che nella curva iniziava a prendere forma un flesso che faceva presagire il tendere della distribuzione di Weibull alla distribuzione normale di Gauss.
Leggendo altra documentazione in rete trovo che per valore k>=3.57 si ha approssimativamente proprio la distribuzione normale di Gauss.Attached Image
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13 replies since 8/3/2016, 21:05 1709 views
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