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Non so se hai ricevuto il file con la dimostrazione. Comunque te lo mando di nuovo. File Allegato
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complimenti a matemao per la dimostrazione che è, allo stesso tempo, ineccepibile ma anche eccessiva rispetto alla domanda: per me era sufficiente che il richiesto piano esistesse e si desse dimostrazione della sua esistenza.
io me ne sono dimostrato l'esistenza in questo modo, con un ragionamento solo qualitativo ma - potenzialmente - sviluppabile analiticamente.
affronto il caso in cui i piani taglianti non abbiano punti in comune sulla superficie del tronco di cilindro.
un tale cilindro può essere diviso in due parti di ugual volume mediante un piano ortogonale all'asse. si prenda infatti un qualsiasi piano intermedio che taglia il tronco in 2 parti: se non sono già di ugual volume è possibile calcolarne la differenza. questa differenza può facilmente essere ripartita tra i due semitronchi spostando il piano ortogonale tagliante.
fatto ciò abbiamo quindi 2 semitronchi di ugual volume. ognuno dei 2 semitronchi può essere diviso esattamente in 2 mediante il piano di simmetria. questo piano è quello che passa per la retta di massima pendenza della faccia inclinata.
a questo punto della costruzione, abbiamo 4 volumi identici, ciascuno pari ad 1/4 del volume originario del tronco di cilindro.
chiamiamo M1 il punto di massima "quota" del primo semitronco (si tratta del punto in cui la retta di massima pendenza incontra la superficie del cilindro alla quota più alta) e M2 il punto di massima "quota" del secondo semitronco.
consideriamo ora la proiezione di tutto il sistema su un piano ortogonale all'asse. in questa proiezione vedremo una circonferenza con centro nell'origine e 2 rette uscenti dall'origine, una passante per M1, che chiameremo m1, e una passante per M2, che chiameremo m2.
immaginiamo ora di ruotare le 2 rette m1 ed m2 (che costituiscono le tracce dei piani assiali taglianti) in modo da portare m1 ed m2 a coincidere.
si osservi che ruotando la retta m1 si avrà per conseguenza che i 2 volumi iniziali ed inizialmente uguali in cui questa divideva il semitronco cambieranno in maniera tale che il volume lasciato "alle spalle" (contenente il punto M1) aumenterà ed il volume verso cui "si va incontro" diminuirà. analoga cosa succederà ruotando la retta m2.
poiché ambo le rette partono da una differenza nulla di volumi nel rispettivo semitronco, esiste senza dubbio una rotazione r1 per la prima retta e una rotazione r2 per la seconda retta tali che le due rette coincidano e tali che i volumi lasciati "alle spalle" nel rispettivo semitronco siano uguali. ciò perché entrambi questi volumi sono crescenti e si può modularne il valore con una opportuna rotazione del rispettivo piano assiale.
ritengo che questa dimostrazione sia valida anche nel caso di piani taglianti che si intersecano all'interno del cilindro, facendo ricorso a "volumi negativi" che vanno opportunamente sottratti.
Edited by reversi - 31/12/2020, 16:19
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Ma questi rompicapi/quesiti sono bellissimi! Difficilini  ma bellissimi!!!
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