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RIleggendo questo vecchio ed appassionate topic ( https://bar-ingegneria.forumfree.it/?t=8970619 ) risalente a qualche anno fa (giugno del 2006), mi sono ricordato di aver letto in questi giorni una pagina di Paul Bourke dove è riportato l'algoritmo che risolve la questione.
http://paulbourke.net/geometry/insidepoly/
Prendendo lo spunto da questo algoritmo ho anche pensato di scrivere un codice minimo in VBA per autocad per stabilire se un punto è interno o esterno ad un poligono sfruttando una particolare funzione di alcuni oggetti grafici di Autocad
Edited by afazio - 26/3/2013, 14:37
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Il metodo a cui mi riferisco è il intersectswith method di un elemento grafico con altro elemento grafico (nel caso specifico una linea con una polilinea).
La macro che intendo creare, dovrà consentire la selezione di una polilinea chiusa, quindi il clik su un punto qualsiasi e quindi ottenere l'informazione richiesta (se il punto è interno o esterno) attraverso una finestra di avviso.
Vediamo la particolarità del metodo .intersectswith. Il metodo richiede come parametri i due elementi grafici di cui cercare le intersezioni e retituisce la lista delle coordinate dei punti di intersezione trovati.
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Iniziamo.
Apriamo un nuovo disegno in autocad.
Disegniamo una qualsiasi polilinea chiusa sul foglio.
Adesso entriamo in ambiente programmazione.
Inseriamo un nuovo modulo
Inseriamo un nuovo form
Nel form inseriamo:
- il pulsante di uscita
- un pulsante di avvio della macro
- una serie di testi che informano come si deve procedere
Al pulsante di uscita (a cui io ho dato i nome "Esci") leghiamo il codice:CODICEPrivate Sub Esci_Click()
Me.hide
End Sub
Andiamo nello spazio codice del modulo che abbiamo inserito e scriviamo la procedura che ci visualizza il formCODICESub esegui()
UserForm1.Show
End Sub
Adesso non ci resta che dedicarci al codice che ci permette di sapere se un punto clikkato è interno o esterno ad un poligono che abbiamo clikkato
Io ho organizzato il dialogo come nella immagine che segue:
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Volendo mettere in codice l'algoritmo riportato, dato il poligono ed il punto di test, prima costruirsi una semiretta arbitraria con origine nel punto di test (possiamo pertanto scegliere un secondo punto a piacere discosto dal punto test di un deltax=1).
In autocad è possibile disegnare una semiretta infinita (di costruzione) col comando _ray. La stessa semiretta puo essere disegnata da VBA per autocad col metodo:
Set oggetto_ray= ThisDrawing.ModelSpace.AddRay(punto_inizio, punto_a_piacere)
Sfruttando questo comando possiamo far disegnare temporaneamente la semiretta
Adesso ci seve conoscere il numero delle intersezioni tra questa semiretta e la polilinea. Come anticipato, si ricorre al metodo:
coordinate_punti_intersezione =Oggetto_ray.IntersectWith(Oggetto_Polilinea, acExtendNone)
Il parametro acExtendNone serve per evitare di trovare intersezioni sugli ideali lati estesi sia della semiretta che del poligono.
LA variabile coordinate_punti_intersezione dove saranno depositate una dietro l'altra le coordinate x,y,z di tutti i punti di intersezione deve essere di tipo Variant e conterrà un numero di elementi pari a 3*N dove N sono il numero delle intersezioni.
Abbiamo tutto. Associamo al tato Avvia il seguente codice:CODICEPrivate Sub Avvia_Click()
Dim Semiretta As AcadRay
Dim Oggetto_generico As AcadObject
Dim Polilinea As AcadPolyline
Dim VarPunto As Variant
Dim Punto_click As Variant
Dim coOrdinate As Variant
Dim numero_intersezioni As Long
Dim punto1(0 To 2) As Double
Dim punto2(0 To 2) As Double
Dim errore As Boolean
UserForm1.hide
errore = False
While Not (errore)
On Error Resume Next
ThisDrawing.Utility.GetEntity Oggetto_generico, VarPunto, "Seleziona una polilinea Chiusa"
If Err <> 0 Then
Err.Clear
errore = True
Else
If Oggetto_generico.EntityName = "AcDbPolyline" Then
MsgBox ("l'oggetto clickato è una polilinea")
' devo vedere se la polilinea è chiusa
Set Polilinea = Oggetto_generico
If Polilinea.Closed Then
MsgBox ("la polilinea è chiusa")
Punto_click = ThisDrawing.Utility.GetPoint(, "clik sul punto")
' stabilisco i due punti per disegnare la semiretta
' il primo punto è il punto di test e coincide col punto clik
punto1(0) = Punto_click(0)
punto1(1) = Punto_click(1)
punto1(2) = Punto_click(2)
' il secondo punto è arbitrario, io ho scelto un punto sulla stessa
' ordinata dal primo e distante di una unità
punto2(0) = punto1(0) + 1
punto2(1) = punto1(1)
punto2(2) = punto1(2)
' disegno la semiretta che parte dal primo punto, passa dal secondo e
' si estende all'infinito
Set Semiretta = ThisDrawing.ModelSpace.AddRay(punto1, punto2)
Update
'mi determino le intersezioni tra la semiretta e la polilinea
coOrdinate = Semiretta.IntersectWith(Oggetto_generico, acExtendNone)
' se vi sono intersezioni allora il vettore delle coordinate non è vuoto
If VarType(coOrdinate) <> vbEmpty Then
numero_intersezioni = (UBound(coOrdinate) + 1) / 3
MsgBox ("trovate " & numero_intersezioni & " intersezioni ")
Else
numero_intersezioni = 0
MsgBox ("nessuna intersezione trovata")
End If
' determino se il numero è pari o dispari attraverso
' il resto della divisione intera
If numero_intersezioni Mod 2 = 0 Then
MsgBox ("il punto clickato è esterno alla polilinea")
Else
MsgBox ("il punto clickato è interno alla polilinea")
End If
'cancello la semiretta
Semiretta.Delete
End If
End If
End If
Update
Wend
UserForm1.Show
End Sub
Salviamo ed eseguiamo la macro vedendone il funzionamento
Tutto funziona perfettamente quando i punti test sono nettamente fuori o nettamente dentro il poligono, mentre comincia a dare risultati strani quando il punto test è su un vertice.
Comunque questo codice non differenzia i casi possibili come ero riuscito a fare col codice scritto sei anni fa in VBA per excel:
- punto interno
- punto esterno
- punto su un vertice
- punto su un lato.
Se avessi necessità di una funzione che mi distingua lo stato del punto rispetto al poligono, dovrei pensare ad aggiustamenti
Edited by afazio - 21/8/2012, 20:57. -
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Dopo essermici sbattuto parecchio nel tentativo di districare tutti i vari casi adottando l'algoritmo del Ray Scan, scivolando sempre proprio quando pensavo di averlo risolto, su quel caso imprevisto, ho deciso di abbandonarlo e cercare la soluzione adottando l'algoritmo della somma degli angoli sottesi dai lati rispetto al punto di cui vogliamo sapere se è interno o esterno.
L'algoritmo si basa sulla constatazione che sommando gli angoli sottesi dai lati rispetto al punto, otteniamo un angolo giro (positivo o negativo a seconda del clock del poligono) se il punto è interno, mentre otteniamo zero se il punto è esterno.
basta dare un'occhiata alle due figure che seguono per rendersene immediatamente conto
Punto interno al poligono
Punto esterno al poligono
Quindi la chiave dell'algoritmo consiste nel riuscire a determinarci l'angolo formato tra i due vettori P-Pi e P-Pk, essendo Pi e Pk gli estremi del genrico lato del poligono.
Propongo il codice ed a seguire lo commento.CODICEFunction IsInsidePoly(Polygon() As TipoPunto, Point As TipoPunto) As Boolean
Dim i As Integer
DIm k as Integer
Dim AngoloTotale As Double
Const Tolleranza As Double = 0.0000001
AngoloTotale = 0
For i = LBound(Polygon) To UBound(Polygon)
k = k + 1: If i = UBound(Polygon) Then k = LBound(Polygon)
AngoloTotale = AngoloTotale + AngoloTra2Vettori(Point, Polygon(i), Polygon(k))
Next
' l'angolo totale sarà 2*pi o -2*pi se il punto è interno, oppure zero se il punto è esterno
IsInsidePoly = (Abs(AngoloTotale) > Tolleranza)
End Function
come vedete la cosa è abbastanza semplice e lascia tutto il compito alla funzione:
AngoloTra2Vettori(Point, Polygon(i), Polygon(k))
che deve calcolare l'angolo (con segno) formato tra i due vettori Point-Polygon(i) e Point-Polygon(k)
L'angolo sotteso da un lato rispetto al punto d'esame non puo' essere mai ne maggiore di un angolo piatto ne minore (nel caso di clock al contrario) dell'angolo piatto cambiato di segno
cioè vale la relazione:
-pi <= alfa <= pi
quindi la funzione AngoloTradueVettori deve essere in grado di restituirmi un angolo con segno compreso tra i due valori specificati.
La funzione è la seguente e simula la funzione di foglio Atan2 (che però è assente in VBA)CODICE'------------------------------------------------------------------------------------------
' Calcola l'angolo formato tra P1-P-P2. (calcola l'angolo in P)
' La funzione ritorna un valore dell'angolo ridotto compreso tra -pigreco e +pigreco.
' Input: i tre punti
' output: L'angolo con segno formato tra i due vettori
' Autore: Afazio - Ottobre 2012
'------------------------------------------------------------------------------------------
Function AngoloTra2Vettori(P1 As TipoPunto, P2 As TipoPunto, P As TipoPunto) As Double
Dim ProdottoScalare As Double
Dim ProdottoVettore As Double
' calcolo il prodotto scalare e vettoriale
ProdottoScalare = ProdottoScalare3P(P1, P2, P)
ProdottoVettore = ProdottoVettore3P(P1, P2, P)
' Calcolo l'angolo tra i due vettori
AngoloTra2Vettori = ATan2(ProdottoVettore, ProdottoScalare)
End Function
Qui è da notare il ricorso ai prodotti tra due vettori in particolare al prodotto vettoriale ed a quello scalare.
Ricordando che si ha:
modulo del prodotto vettoriale: ProdottoVettoriale = |v1|*|v2|*sen(alfa
Modulo del prodotto scalare : ProdottoScalare= |v1|*|v2|*cos(alfa)
Dividendo membro a membro la prima equazione per la seconda
abbiamo:
tan(alfa) = ProdottoVettoriale/ProdottoScalare
Ma i moduli dei due prodotti li possiamo calcolare come somme o differenze di prodotti tra le componenti dei due vettori:CODICE'---------------------------------------------------------------------
' la funzione che segue restituisce il modulo del prodotto scalare
' tra due vettori definiti attraverso tre punti P1P2 e P1P
' input: tre punti secondo struttura TipoPunto
'---------------------------------------------------------------------
Public Function ProdottoScalare3P(P1 As TipoPunto, P2 As TipoPunto, P As TipoPunto) As Double
ProdottoScalare3P = (P2.X - P1.X) * (P.X - P1.X) + (P2.Y - P1.Y) * (P.Y - P1.Y)
End Function
'---------------------------------------------------------------------CODICE'---------------------------------------------------------------------
' la funzione che segue restituisce il modulo del prodotto vettoriale
' tra due vettori definiti attraverso tre punti P1P2 e P1P
' input: tre punti secondo struttura TipoPunto
'---------------------------------------------------------------------
Public Function ProdottoVettore3P(P1 As TipoPunto, P2 As TipoPunto, P As TipoPunto) As Variant
ProdottoVettore3P = (P2.X - P1.X) * (P.Y - P1.Y) - (P2.Y - P1.Y) * (P.X - P1.X)
End Function
'---------------------------------------------------------------------
Basta mettere insieme il tutto ed il codice è fatto.
Enjoy
Edited by afazio - 11/10/2012, 15:52. -
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Infine ecco la Simulazione della funzione di foglio Atan2 CODICE'------------------------------------------------------------------------------------------------
' la funzione ATan2() restituisce l'angolo avente tangente pari a Numeratore/Denominatore
' Il valore ottenuto è compreso tra pigreco e -pigreco.
' Praticamente simula la funzione di foglio Atan2()
'---------------------------------------------------------------------------------------------------
Function ATan2(Numeratore As Double, Denominatore As Double) As Double
Dim Angolo As Double
Dim Pi As Double
Pi = 4 * Atn(1)
Const Tolleranza As Double = 0.0000001
' controllo che il denominatore sia diverso da zero
If Abs(Denominatore) < Tolleranza Then
Angolo = Pi / 2
Else
Angolo = Abs(Atn(Numeratore / Denominatore))
End If
' controllo se sono nel quadrante 2 o 3.
If Denominatore < 0 Then
' l'angolo è > pi/2 oppure < -pi/2.
Angolo = Pi - Angolo
End If
' controllo se sono nel quadrante 3 o 4.
If Numeratore < 0 Then
Angolo = -Angolo
End If
ATan2 = Angolo
End Function. -
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Qui trovate il solito file di test con aggiunte le ultime funzioni.
https://www.box.com/s/p252utwnkykoyykje52j. -
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Il caso di un poligono definito in senso antiorario col punto interno 
Quando il punto "torna indietro", l'angolo calcolato è negativo (angolo in rosso) e si sottrae alla somma. Superata l'ansa. continuando a seguire l'ordine dei vertici, l'angolo torna a sommarsi. -
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Grazie dello schema afazio.
Ho anche provato, con la stessa figura a posizionare il punto all'esterno del poligono, ma nel 'becco'. In quel caso con gli opportuni segni la sommatoria degli angoli è nulla c.v.d.. -
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Lo stesso poligono col punto esterno 
La somma algebrica di tutti gli angoli negativi (quelli in bianco) e di tutti gli angoli positivi (quelli in rosso) da come risultato zero. Provare a percorrere con la mente il poligono sommando l'angolo in bianco e sottraendo quello in rosso.Grazie dello schema afazio.
Ho anche provato, con la stessa figura a posizionare il punto all'esterno del poligono, ma nel 'becco'. In quel caso con gli opportuni segni la sommatoria degli angoli è nulla c.v.d.
Se poi vai a guardare il codice necessario per l'implemetazione di questo algoritmo noti che si riduce davvero a poche righe. Con l'algoritmo del Ray scan il processo è piu lungo poiche oltre a dover determinare le intsersezioni con tutti i lati dei poligoni hai i problemi nei casi in cui: il ray incoccia un vertice, l'intersezione sara contata una volta appartenente ad un lato ed una volta appartenente al successivo e devi pertanto inserire qualche controllo che ne escluda uno, quando il ray è coincidente con un lato hai ancora due intersezioni, una nel vertice del lato precedente ed una nel vertice del lato successivo.
Ovviamente tutto si può implementare anche questo algoritmo ma a costo di qualche controllo in piu'
Edited by afazio - 12/10/2012, 11:32. -
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Ho fatto di più afazio.
(essendo come San Tommaso)
Ho fatto il disegnino in autocad, mi sono misurato tutti gli angoli e li ho sommati algebricamente. 360° per i punti interni, 0° per quelli esterni.
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.Ho fatto di più afazio.
(essendo come San Tommaso)
Ho fatto il disegnino in autocad, mi sono misurato tutti gli angoli e li ho sommati algebricamente. 360° per i punti interni, 0° per quelli esterni.
Esatto, ma quel 360 diventa -360 quando cambi il clok del poligono.
Basta quindi una buona funzione che ti calcola l'angolo con segno sapendo che comunque l'angolo non puo' essere magiore in valore assoluto a 180 ed hai risolto il tutto.. -
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Una funzione in pascal che determina se un punto è interno o esterno ad un poligono:
http://wiki.lazarus.freepascal.org/Geometry_in_PascalCODICE// The function will return True if the point x,y is inside the polygon, or
// False if it is not.
//
// Original C code: http://www.visibone.com/inpoly/inpoly.c.txt
//
// Translation from C by Felipe Monteiro de Carvalho
//
// License: Public Domain
function IsPointInPolygon(AX, AY: Integer; APolygon: array of TPoint): Boolean;
var
xnew, ynew: Cardinal;
xold,yold: Cardinal;
x1,y1: Cardinal;
x2,y2: Cardinal;
i, npoints: Integer;
inside: Integer = 0;
begin
Result := False;
npoints := Length(APolygon);
if (npoints < 3) then Exit;
xold := APolygon[npoints-1].X;
yold := APolygon[npoints-1].Y;
for i := 0 to npoints - 1 do
begin
xnew := APolygon[i].X;
ynew := APolygon[i].Y;
if (xnew > xold) then
begin
x1:=xold;
x2:=xnew;
y1:=yold;
y2:=ynew;
end
else
begin
x1:=xnew;
x2:=xold;
y1:=ynew;
y2:=yold;
end;
if (((xnew < AX) = (AX <= xold)) // edge "open" at left end
and ((AY-y1)*(x2-x1) < (y2-y1)*(AX-x1))) then
begin
inside := not inside;
end;
xold:=xnew;
yold:=ynew;
end;
Result := inside <> 0;
end;. -
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Io ho recuperato questa funzione in vba che determina se un punto è interno od esterno ad un poligono oltre a segnalare se appartiene ad un lato oppure coincide con un vertice: CODICEPrivate Sub INSIDE(XAPEX() As Double, YAPEX() As Double, napex As Integer, xPT As Double, yPT As Double, loc As Integer)
'
' inside definisce la posizione di un punto rispetto
' a un poligono (interno o esterno)
'
' input xapex = ascisse vertici del poligono
' yapex = ordinate vertici poligono
' napex = nr. vertici poligono
' xpt & ypt = coord. punto
'
' output loc
'
' loc = 0 n. vertici < 3
' loc = 1 il punto e' esterno al poligono
' loc = 2 il punto coincide con un vertice
' loc = 3 il punto sta sulla frontiera del poligono
' loc = 4 il punto e' interno al poligono
'
Dim i As Integer, ANGLE As Double
Dim theta As Double
Dim Alfa As Double
Dim xnew As Double
Dim ynew As Double
Dim pi As Double
pi = 4# * Atn(1#) 'atan(1#)
XAPEX(napex) = XAPEX(0) ' forza la chisura del poligono
YAPEX(napex) = YAPEX(0) '
If (napex < 3) Then
loc = 0 ' poligono inesistente
Exit Sub
End If
For i = 0 To napex
If (xPT = XAPEX(i) And yPT = YAPEX(i)) Then
loc = 2
Exit Sub
End If
Next i
ANGLE = 0#
For i = 0 To napex - 1
theta = atan2(YAPEX(i) - yPT, XAPEX(i) - xPT)
xnew = (XAPEX(i + 1) - xPT) * Cos(theta) + (YAPEX(i + 1) - yPT) * Sin(theta)
ynew = (YAPEX(i + 1) - yPT) * Cos(theta) - (XAPEX(i + 1) - xPT) * Sin(theta)
Alfa = atan2(ynew, xnew)
If Alfa = pi Then
loc = 3 ' punto sul lato del poligono
Exit Sub
End If
ANGLE = ANGLE + Alfa
Next i
If (Abs(ANGLE) < 0.0001) Then
loc = 1 ' Punto esterno
Exit Sub
ElseIf (Abs(ANGLE) > pi) Then
loc = 4 ' punto interno
Exit Sub
End If
End Sub
Private Function atan2(Y As Double, X As Double) As Double
'
' in Visual basic la atan2 NON esiste !
' uguale alla funzione fortran atan2
'
Dim pi
Dim hpi
pi = 4 * Atn(1#) ' pigreco 3.14..... (180)
hpi = pi / 2# ' pigrecomezzi 1.57...... ( 90)
If X = 0# Then
If Y > 0# Then
atan2 = hpi
ElseIf Y < 0# Then
atan2 = -hpi
Else
atan2 = 0#
End If
ElseIf Y = 0# Then
If X < 0# Then
atan2 = pi
Else
atan2 = 0#
End If
Else
If X < 0# Then
If Y > 0# Then
atan2 = Atn(Y / X) + pi
Else
atan2 = Atn(Y / X) - pi
End If
Else
atan2 = Atn(Y / X)
End If
End If
End Function
Altro codice equivalente sviluppato interamente da me su un concetto base di computer graphics (una semiretta che parte dal punto dato se interseca il poligono per un numero pari di volte vuol dire che il punto dato è esterno altrimenti è interno al poligono stesso):CODICE'///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
'Determina se un punto di coordinate P(Xp,Yp)
'è interno al poligono indicato tenendo conto anche delle cavità
'///////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Public Function Punto_Interno_poligono(xP As Double, yP As Double, X() As Double, Y() As Double, nv As Integer) As Boolean
'xP,yP --> coordinate punto P(Xp,Yp)
'X() --> vettore delle ascisse dei vertici del poligono
'Y() --> vettore delle ordinate dei vertici del poligono
'nv --> numero dei vertici del poligono
Dim j As Integer
Dim k As Integer
Dim xt() As Double
Dim ntlx As Integer
Dim yt() As Double
Dim ntly As Integer
Dim Xc As Double
Dim Yc As Double
Dim denom As Double
Dim kdx As Integer
Dim ksx As Integer
Dim kup As Integer
Dim kdn As Integer
ntlx = 0
'calcolo punti di intersezione con il poligono dato
For j = 1 To nv
If j = nv Then k = 1 Else k = j + 1
'considero solo i lati intersecanti la retta orizzontale passante per yp
If (yP < Y(j) And yP >= Y(k)) Or (yP >= Y(j) And yP < Y(k)) Then
'trovo le coordinate del punto di intersezione
denom = (Y(k) - Y(j))
'le linee parallele non si intersecano mai pertanto non la calcolo
'oltretutto genera una divisione per zero non possibile
If denom <> 0# Then
Xc = ((X(k) - X(j)) * yP + X(j) * Y(k) - X(k) * Y(j)) / denom
'aggiungo spazio per un punto
ntlx = ntlx + 1
ReDim Preserve xt(ntlx)
'inserisco il punto
xt(ntlx) = Xc
End If
End If
Next j
ntly = 0
'calcolo punti di intersezione con il poligono dato
For j = 1 To nv
If j = nv Then k = 1 Else k = j + 1
'considero solo i lati intersecanti la retta verticale passante per xp
If (xP < X(j) And xP >= X(k)) Or (xP >= X(j) And xP < X(k)) Then
'trovo le coordinate del punto di intersezione
denom = (X(k) - X(j))
'le linee parallele non si intersecano mai pertanto non la calcolo
'oltretutto genera una divisione per zero non possibile
If denom <> 0# Then
Yc = ((Y(k) - Y(j)) * xP + Y(j) * X(k) - Y(k) * X(j)) / denom
'aggiungo spazio per un punto
ntly = ntly + 1
ReDim Preserve yt(ntly)
'inserisco il punto
yt(ntly) = Yc
End If
End If
Next j
'conto i punti di intersezione con il perimetro a destra o a sinistra del punto P
'se il numero di intersezioni è pari oppure zero significa che il punto P
'è esterno al contorno.
kdx = 0
ksx = 0
For j = 1 To ntlx
If xt(j) > xP Then kdx = kdx + 1
If xt(j) < xP Then ksx = ksx + 1
Next j
'conto i punti di intersezione con il perimetro sopra e sotto del punto P
'se il numero di intersezioni è pari oppure zero significa che il punto P
'è esterno al contorno.
kup = 0
kdn = 0
For j = 1 To ntly
If yt(j) > yP Then kup = kup + 1
If yt(j) < yP Then kdn = kdn + 1
Next j
If kdx Mod 2 = 0 Or ksx Mod 2 = 0 Or kup Mod 2 = 0 Or kdn Mod 2 = 0 Then
Punto_Interno_poligono = False
Else
'gestione di caso particolare molto raro
If punto_su_vertice(xP, yP, X(), Y(), nv) = True Then
Punto_Interno_poligono = False
Else
Punto_Interno_poligono = True
End If
End If
End Function
'Verifichiamo se un punto è anche vertice del poligono
Private Function punto_su_vertice(xP As Double, yP As Double, Xv() As Double, Yv() As Double, nv As Integer) As Boolean
Dim i As Integer
For i = 1 To nv
If xP = Xv(i) And yP = Yv(i) Then
punto_su_vertice = True
Exit Function
End If
Next i
'default
punto_su_vertice = False
End Function
Edited by texitaliano64 - 25/4/2013, 22:17. -
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credo che l'ultimo codice entri in errore in questo caso: 
Infatti, considerando la retta orizzontale passante per il punto abbiamo due intersezioni a destra ed uno a sinistra.
Per le intersezioni a destra dovremmo avere come risultato "punto esterno" mentre per quelle a sinistra dovremmo avere come risultato "punto interno". Ma è e facile disegnare un poligono che abbia due intersezioni a destra e due a sinistra due verso l'alto e due verso il basso ed avere come risultato "punto esterno" mentre il punto è interno.
Che succede per esempio nel caso che illustro a seguire?
.
Algoritmi: Punto interno o esterno ad un poligono |
