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zax2013
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A questo punto bisogna entrare dentro il singolo concio, integrando l'equazione della linea elastica.
Utilizzeremo una sorta di sistema di riferimento 'locale' del concio stesso, per cui l'ascissa x vale 0 nell'estremo i e varrà Li nell'estremo i+1.
Per la linearità dei momenti:
M(x)=Mi+(Mi+1-Mi)·x/Li
e si indichi con E ed J il modulo elastico medio e l'inerzia media del concio.
La nostra equazione diventa allora:
d²w(x)/dx²=-Mi/(E·J)-(Mi+1-Mi)·x/(Li·E·J)
Integriamola una prima volta, ottenendo:
dw(x)/dx=Ø(x)=-Mi·x/(E·J)-(Mi+1-Mi)·x²/(2·Li·E·J)+A
Ed infine una seconda volta per ottenere l'equazione della linea elastica del concio:
w(x)=-Mi·x²/(2·E·J)-(Mi+1-Mi)·x³/(6·Li·E·J)+A·x+B
Le costanti di integrazione A e B, come al solito, vanno determinate a partire dalle condizioni al contorno.
E quali sono queste condizioni?
Semplice. In corrispondenza della ascissa locale x=0 del concio la w(0) deve essere uguale a wi ed in corrispondenza di x=Li ,w(Li) deve essere uguale a wi+1
Dalla prima condizione si ricava che B=wi, dalla seconda invece:
wi+1=-Mi·Li²/(2·E·J)-(Mi+1-Mi)·Li²/(6·E·J)+A·Li+wi
E risolvendo, quindi:
A=(wi+1-wi)/Li+Mi·Li/(2·E·J)+(Mi+1-Mi)·Li/(6·E·J)
Adesso, sostituendo ad A e B le espressioni trovate abbiamo le equazioni del concio, sia per quanto riguarda le rotazioni che gli abbassamenti:
dw(x)/dx=Ø(x)=-Mi·x/(E·J)-(Mi+1-Mi)·x²/(2·Li·E·J)+(wi+1-wi)/Li+Mi·Li/(2·E·J)+(Mi+1-Mi)·Li/(6·E·J)
w(x)=-Mi·x²/(2·E·J)-(Mi+1-Mi)·x³/(6·Li·E·J)+[(wi+1-wi)/Li+Mi·Li/(2·E·J)+(Mi+1-Mi)·Li/(6·E·J)]·x+wi
Espressioni che si potrebbero anche ulteriormente semplificare. Ma solamente avendone voglia.
L'importante è che si capisca che le uniche incognite di queste 'articolate' espressioni sono.......
I momenti no. Quelli sono conosciuti e sono un dato del problema. Anche Il modulo elastico E e l'inerzia della sezione J la abbiamo definita a priori, quindi rimangono i veri 'colpevoli': wi e wi+1.
Ecco le vere incognite!
Vediamo alla prossima come ricavarle.
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