-
|
| .
|
|
|
|
Un tema, questo che propongo, il cui soggetto prima sconosciuto anche solo come termine ai più, che è entrato con tragica prepotenza nelle case di tutti gli italiani e nella testa di tutti gli ingegneri.
Trattasi dell'equilibrio di una fune avente densità lineare λ nota, infinitamente flessibile e inestensibile, di lunghezza complessiva Ltot da determinare, da avvolgere a due carrucole A e B disposte a quote differenti e posizionate come in figura, in maniera tale che essa rimanga in equilibrio con tangente orizzontale nel punto più basso.
Per questo quesito si considerino le carrucole ideali (puntiformi e prive di massa) e che vi sia sempre contatto in gola tra fune e puleggie.
Si tratta di determinare a, b, Lo e conseguentemente Ltot
Per qualsiasi simulazione numerica si scelgano i dati numerici a piacimento.
Questo esercizio non l'ho ancora risolto. (l'ho stampato dieci minuti fa).Attached Image
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
Aggiungo:
per fissati λ L e H non è detto che esista una configurazione di equilibrio con tangente orizzontale.
In questo caso dovremmo determinare per quale valore di H, fermi restando λ L, l'equilibrio nella configurazione assegnata è possibile, o, in alternativa, per quale valore di L fermi restando λ H.
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
Ho solo qualche idea.
Una di queste, che voglio sottoporvi, si basa sulla catenaria intera, cioè la catenaria che appoggiandosi sulla carrucola in B si appoggi su una carrucola B1 posta simmetricamente rispetto alla verticale passante per la carrucola A e quindi alla stessa quota di B.
Di questo schema, per fissate densità lineare, luce tra gli appoggi e dislivello tra vertice della catenaria e appoggi, dovrebbe essere agevole ricavare le tensioni sulla fune in corrispondenza degli appoggi e la tensione in corrispondenza del vertice.
Note le tensioni TA e TB è quindi possibile ricavare i due tratti di lunghezza a e b da far pendere dalle due carrucole.
Resta da determinare lo sviluppo della catenaria.Attached Image
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
Per iniziare considero il seguente schema con la catenaria completa e con le estremità della fune saldate alle due carrucole B1 e B
Fisso un sistema di riferimento avente asse y in corrispondenza dell'asse di simmetria e origine in un punto sotostante il vertice e distante k
Il parametro k cosi stabilito rappresenta il parametro della catenaria.
In questo sistema di riferimento la catenaria ha equazione:
=k*cosh(\frac{x}{k}) "y(x)=k*cosh(\frac{x}{k})")
Lo sviluppo dell'arco di catenaria in funzione dell'ascissa x è espresso dalla formula:
=k*sinh(\frac{x}{k}) "L(x)=k*sinh(\frac{x}{k})")
mentre la tensione sulla fune in funzione di x è data dalla formula:
=g*\lambda&space;*k*cosh(\frac{x}{k}) "T(x)=g*\lambda *k*cosh(\frac{x}{k})")
Posto una volta per tutte:
peso per unita di lunghezza della fune, si ha:
=p&space;*k*cosh(\frac{x}{k}) "T(x)=p *k*cosh(\frac{x}{k})")
Da annotare che la tensione nel punto generico della fune è diretta secondo la tangente alla catenaria nel punto.
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
Per definire l'equazione della catenaria imponiamo il passaggio per i due punti A e B.
Il passaggio per A è già implicito nella forma assunta per l'equazione, cioè nella scelta dell'origine del sistema di riferimento.
Infatti per A(0;K) sostituendo le coordinate del punto nell'equazione otteniamo una identità:
si ha:
) ossia k=k
Imponiamo il passaggio per il punto B(L; H+k):
)
Che possiamo risolvere per via numerica sfruttando il solutore di excel.
Fissiamo pertanto dei dati per avviare una simulazione.
Fisso:
p= 2 N/m
L= 4.0 m
H= 8.0 m
Segnalo che non so se è assodato il fatto che fissati due punti di cui uno sia il vertice e l'altro l'appoggio superiore esista una catenaria passante per questi due punti.
Segnalo inoltre che fino ad adesso il peso per unità di lunghezza della fune non interviene. Sono solo questioni geometriche, mentre il peso interverrà a seguire nelle questioni meccaniche. Cosi come interverrano in una seconda fase le caratteristiche elastiche della fune (modulo di Young e sezione) quando si vorranno determinare gli allungamenti subiti dalla fune per adagiarsi nella configurazione che abbiamo imposto.
Quelle che sono chiamate pretensioni altro non sono che le tensioni indotte nella fune per averle imposto questa configurazione o, in altre parole, se imponiamo una certa pretensione, otteniamo una catenaria differente.
Riscrivo l'equazione precedente in forma implicita:
]=0 "H+k[1-cosh(\frac{L}{k})]=0")
in excel imposto una cella dedicata a contenere e far variare il parametro k e nella cella accanto digito l'equazione.
Avvio il solutore impostando valore finale nullo al variare del contenuto della cella contenente k.
Per i dati in esempio ottengo k=1.6217
Adesso ricordando che
ricavo la tensione nel punto A diretta orizzontalmente:
TA=p*k=2*1.6217 = 3.24 N
e la tensione in B:
TB=p*(H+k) =2*(8+1.6217)=19.24 N
Ottenute le tensioni ai due estremi, determino le lunghezze da appendere alle due carrucole:
a=TA/P= 3.24/2= 1.62 m
b= TB/p= 19.24/2=9.62 m
lo sviluppo della catenera i tra A e B risulta:
&space;=&space;9.48&space;m)
La lunghezza del filo da appendere risulta:
Ltot= 1.62 +9.62+9.48 = 20.73 m
Prossimamente vedrò di impostare un esercizio per la determinazione della freccia della catenaria.
Edited by afazio - 17/7/2019, 08:54
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
CITAZIONE (afazio @ 16/7/2019, 22:35) Segnalo che non so se è assodato il fatto che fissati due punti di cui uno sia il vertice e l'altro l'appoggio superiore esista una catenaria passante per questi due punti.
si può capirlo intuitivamente senza bisogno di dimostrazione analitica.
prendo una qualunque fune e la fisso con un chiodo in quello che sarà il vertice. metto una carrucola nell'estremo superiore e faccio scorrere la fune tirando o allentando dall'alto fino a che nel vertice ho tangente orizzontale.
questo dimostra che (almeno) una catenaria esiste: trovarne l'equazione è un altro paio di maniche.
questo modo di ottenerla mi fa pensare che ne esistano infinite, al variare del peso della corda (che può avere una legge qualsiasi e non necessariamente costante lungo lo sviluppo della corda).
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
CITAZIONE (reversi @ 17/7/2019, 01:11) si può capirlo intuitivamente senza bisogno di dimostrazione analitica.
Hai ragione, me ne ero convinto ieri sera stesso pensando che presi due chiodi piantati su una parete, purché non sulla stessa verticale, è sempre possibile legare ad essi i capi di una fune la cui lunghezza è maggiore della distanza tra i due chiodi, ed essa si disporrà secondo una catenaria.
Saranno poi la lunghezza e il peso unitario della fune a determinarne forma, equazione e tensione.
Fissati due punti sul piano verticale esiste allora un fascio di catenarie di cui quella con tangente orizzontale è una soltanto.
Se poi la fune a riposo ha lunghezza inferiore alla distanza tra i due chiodi, per poterne fissare i capi ai due chiodi dobbiamo tirarla allungandola e quindi la fune deve possedere le capacità elastiche.
|
|
|
| .
|
-
-
|
| .
|
|
|
|
CITAZIONE (Marcello Savorani @ 17/7/2019, 23:47)
E' sempre interessante qualsiasi articolo riguardanti la statica delle funi.
L'articolo che richiami però adotta la formulazione parabolica e questo si evince dalla assunzione di "spalmare l'intero peso della fune sulla proiezione orizzontale".
La differenza tra configurazione parabolica e configurazione a catenaria consiste proprio sulla assunzione della distribuzione del peso proprio della fune:
- se il peso è distribuito per unità di lunghezza di fune (come realmente è) allora abbiamo una catenaria;
- se il peso invece è distribuito per unita di lunghezza della proiezione orizzontale allora la configurazione che assume la fune è una parabola.Attached Image
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
afazio
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
CITAZIONE (Marcello Savorani @ 28/8/2019, 21:35) afazio
La foto che hai postato mi fa venire in mente un facile esercizio da proporre negli istituti per geometri, ma anche agli allievi ingegneri meccanici.
Tema:
Si abbiano le tre catenine di cui si conosce per ciascuna il peso complessivo e la loro lunghezza (magari si forniscono le tre catenine indicando loro di pesarle e misurarle considerando anche le tolleranze in base allo strumento usato per il peso e per la lunghezza)
Misurando la distanza tra gli appoggi e la freccia mostrata dalle tre catenine legate agli stessi chiodini (sempre considerando le tolleranze), determinare la forza trasmessa dalle catenine su ciascuno dei due chiodini di ancoraggio inclusa tolleranza.
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
CITAZIONE (afazio @ 28/8/2019, 22:22) La foto che hai postato mi fa venire in mente un facile esercizio da proporre negli istituti per geometri, ma anche agli allievi ingegneri meccanici.
Tema:
Si abbiano le tre catenine di cui si conosce per ciascuna il peso complessivo e la loro lunghezza (magari si forniscono le tre catenine indicando loro di pesarle e misurarle considerando anche le tolleranze in base allo strumento usato per il peso e per la lunghezza)
Misurando la distanza tra gli appoggi e la freccia mostrata dalle tre catenine legate agli stessi chiodini (sempre considerando le tolleranze), determinare la forza trasmessa dalle catenine su ciascuno dei due chiodini di ancoraggio inclusa tolleranza.
Buon rientro dalle vacanze, ti fornisco qualche dato:
Pesa circa 32 grammi quindi 0,032 kg ossia 0,0128 kg/ml visto che la catenina è lunga 2,5 m.
Le tre catenine sono lunghe rispettivamente: 40, 50 e 60 cm.
Dopo la metà di settembre mi dedicherò al Bisantis.
Relativamente al Polcevera ho finito l’analisi del crollo in base ai video effettivi e proprio quella simmetria mi indicato la strada giusta. Non è stato lo strallo a cedere per primo. Ma di questo ne discuteremo in un’altro post.
Mi hai appassionato sulle parabole e catenarie. Ho raccolto molta documentazione al riguardo.
Grazie
|
|
|
| .
|
-
-
-
|
| .
|
|
|
|
CITAZIONE (Marcello Savorani @ 28/8/2019, 22:48) Buon rientro dalle vacanze, ti fornisco qualche dato:
Pesa circa 32 grammi quindi 0,032 kg ossia 0,0128 kg/ml visto che la catenina è lunga 2,5 m.
Le tre catenine sono lunghe rispettivamente: 40, 50 e 60 cm.
....
Mi hai appassionato sulle parabole e catenarie. Ho raccolto molta documentazione al riguardo.
Grazie
I dati forniti non sono sufficienti. Servirebbe la freccia oppure la luce tra i due chiodini.
Con questo ulteriore dato la soluzione sarebbe abbastanza complessa perchè avremmo:
Luce tra gli appoggi, sviluppo della catenaria e peso per unità di lunghezza.
Le condizioni da poter imporre sono:
il passaggio per i due punti (-L/2; yv+H) (-L/2; yv+H)
la condizione di uguaglianza della formula dello sviluppo con la lunghezza della catenina.
Il numero delle equazioni è sufficiente ma la risoluzione è complicata.
|
|
|
| .
|
21 replies since 15/7/2019, 06:51 1362 views
.
.
.
