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Paolo Rugarli
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Per dovere posto queste riflessioni sperando che aiutino e che possano contribuire a fare luce su quanto è successo. Mi piacerebbe sentire il vostro parere. Mi riferisco al "paradosso dello strallo corroso" e vi chiedo un parere.
Sto continuando a pensare a questo complesso e sottile problema meccanico. Non sono più convinto di una cosa che appariva scontata: una corda che aumenti il suo stato di sforzo a parità di massa, aumenta la sua frequenza propria di oscillazione. Infatti qui il problema è: una corda che aumenti il suo sforzo ma diminuisca il suo tiro, a parità di massa, aumenta o diminuisce la sua frequenza propria? E' una cosa subdola. E diversa, io sospetto. Forse sono "paranoico". Ma è quella "paranoia" indispensabile alla professione, io temo.
Aiutatemi a capire se sragiono ora o se sragionavo otto mesi fa. Ora di sicuro ho bisogno di riposo, ma non vedo falle nel ragionamento che segue.
Siamo abituati a pensare che un maggior sforzo in una corda tesa, produca frequenze maggiori. Abbiamo in mente la chitarra che lo mostra chiaramente con il suono.
Ma è veramente lo sforzo, o non piuttosto la forza, a dare quella frequenza? E che differenza c'è, nel caso di uno strallo che si va corrodendo?
Se consideriamo le oscillazioni libere di un sistema meccanico queste sono associate allo scambio continuo tra (almeno) due forme diverse di energia.
Nei sistemi elastici deformati, sono l'energia cinetica e l'energia di deformazione elastica. Nei sistemi rigidi (come il pendolo) sono l'energia cinetica e quella potenziale dei carichi applicati.
Una corda tesa, priva di inerzia flessionale (o così assimilabile), oscilla perché mutano l'energia cinetica e l'energia potenziale. Non l'energia di deformazione.
A riprova, nella formula della frequenza della corda tesa non entra il modulo di Young, E, che invece è ubiquo nelle oscillazioni dei sistemi elastici. La N preesistente nel cavo viene spostata dalla elongazione (effetto del secondo ordine) che si produce nel corso della oscillazione. Forza (preesistente) per spostamento (suppletivo). Un po' come nel pendolo.
Questa formula ha due diverse versioni.
La prima usa lo sforzo s, e la densità di massa per unità di volume del cavo, ro. La seconda usa la forza N, e la massa per unità di lunghezza del cavo stesso, m.
I miei studi precedenti sul ponte Morandi (fatti con numeri ragionevoli ottenuti al meglio di quanto potevo fare, ma non con quelli definitivi esatti, e trascurando la forma non rettilinea del cavo), hanno mostrato che nella ipotesi che la corrosione procedesse con identica velocità negli stralli Sud e Nord, l'effetto della corrosione sarebbe stato:
a) La forza negli stralli sarebbe lentamente diminuita.
b) Lo sforzo negli stralli sarebbe aumentato.
c) La frequenza propria di oscillazione degli stralli sarebbe aumentata.
Oggi sono ragionevolmente sicuro di a) e di b), ma non più di c), se non ammettendo che vi sia stata una ben diversa velocità di corrosione tra Sud e Nord.
La formula che dà la prima frequenza scritta nella forma sezionale è:
f= (1/2L)sqrt(N/m)
mentre nella forma puntuale è:
f= (1/2L)sqrt(s/ro)
Se in un cavo l'area che dà massa e l'area che dà tensione (e quindi azione assiale), sono le stesse, allora le due formule si equivalgono. Ma se le due aree sono diverse, allora il passaggio dalla prima alla seconda si può fare solo assumendo una ro fittizia.
Sia A0 l'area che dà massa, e sia questa costante nel tempo. Infatti, i fili corrosi non cessano di avere massa e non cessano di oscillare solidali al resto del cavo, dando energia cinetica.
Sia poi A = (1-c)A0 l'area resistente residua in un certo istante, funzione del livello di corrosione c, e quindi del tempo.
Risulta:
f=(1/2L)sqrt(sA/roA0) = (1/2L) sqrt(s/ro) x sqrt(A / A0)
e non
f= (1/2L)sqrt(s/ro)
In sintesi, usando la forma sezionale è tutto più chiaro:
f= (1/2L) sqrt(N/m)
dove m è costante nel tempo e N diminuisce con il tempo.
Ma allora la frequenza doveva diminuire e non aumentare con il tempo. Ciò contraddice il fatto sperimentale che gli stralli della pila 9, quella crollata, avevano frequenze più alte a causa della corrosione?
Nella ipotesi di identica velocità di corrosione Sud e Nord, apparentemente, sì. Apparentemente lo strallo, con identica massa, crescente sforzo, ma diminuente forza applicata, oscillava via via con frequenze minori. E' questo il "paradosso del cavo corroso" (a meno che non commetta ora qualche errore, cosa pur sempre possibile).
Resta una sola possibilità che darebbe luogo a un aumento di frequenza, almeno fin dove oggi sono riuscito ad arrivare.
Sia S, Sud, e N, Nord. Sia d diretto, e i indiretto.
Immaginiamo che a Sud si perda 1 N per corrosione, e che nella stessa unità di tempo di perda h negli stralli Nord (e immaginiamo che h > 1, ovvero che gli stralli Nord si corrodano più di quelli Sud). Sia inoltre kd la forza che "ritorna" nello strallo Sud che ha perso 1 per corrosione, e ki la forza (indiretta) che carica lo strallo Nord (che non ha fatto nulla).
Immaginando che nella unità di tempo si perda per corrosione 1N Sud, e hN Nord (N=Newton), In Sud ritorna la forza
kd + hki
e in Nord
hkd + ki
Se imponiamo
kd + hki > 1N
cerchiamo la condizione tale per cui la forza che "ritorna" è maggiore di quella persa, cosa che produrrebbe un aumento di tiro negli stralli Sud, e una perdita di tiro negli stralli Nord (e un conseguente squilibrio del ponte).
h > (1-kd) / ki
Siamo nell'ordine di h=1.6 all'inizio, e 2, 2.5 andando aventi con alte corrosioni. Sono differenze molto forti, e in più dalla parte "sbagliata", ovvero cN > cS.
Se così fosse:
- la frequenza Sud sarebbe aumentata per aumento della sua forza.
- Nord si sarebbe corroso molto più che Sud, ma a forza decrescente.
- Il ponte si sarebbe squilibrato.
- Sud avrebbe perso area per corrosione (sia pure più lenta che Nord) e in più avrebbe avuto forze maggiori, quindi gli effetti sullo sforzo sarebbero stati accelerati.
Le mutue velocità di corrosione:
a) dei cavi secondari versus i primari
b) dei cavi Sud versus i Nord
influenzano grandemente la risposta del sistema. Quindi vanno studiate parametricamente, assumendo che variino indipendentemente in un certo range.
a): Determina quando è avvenuta (se è avvenuta) la decompressione del cls. Determina anche se e quanto considerare la presenza di una armatura tale da garantire un comportamento flessionale oscillatorio alla EJ. In assenza di sufficiente armatura (e di precompressione) nel corso della oscillazione il cls si sarebbe fessurato, e nessun "EJ" sarebbe stato disponibile.
b): Da quanto mi sembra - e dico mi sembra - di aver capito, anche questo parametro è fondamentale da studiare, perché diversamente non sembra essere spiegata la maggiore frequenza di oscillazione dei cavi 9/Sud.
Concludo contraddicendomi, e facendo ammenda. Ci sono ancora cose da capire e da spiegare.
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@Marcello Savorani: grazie per le parole di apprezzamento, anche quelle volatili.
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Ho capito il dubbio di Paolo. Non saprei rispondere.
Però so (ma non ne sono più sicuro) che la frequenza delle corde di uno strumento varia in ragione della loro lunghezza. Giusto?
Ecco: perché?
Anch'io sono corroso dal dubbio.
... la prima cosa che trovo in rete.... -
.In sintesi, usando la forma sezionale è tutto più chiaro:
f= (1/2L) sqrt(N/m)
dove m è costante nel tempo e N diminuisce con il tempo.
Non ho ancora letto l'intero intervento. Sono arrivato più o meno fin lì e tutto il ragionamento mi è chiaro. Però mi chiedo........perchè N diminuirebbe con il tempo? I pesi di tutto ciò che è attaccato allo strallo non diminiuiscono. Per "erosione" della sezione aumenterà la sua tensione, ma N "totale" che deriva dalla statica nè può aumentare nè può diminuire.
E' possibile che leggendo il seguito io possa essere smentito. E se ho avuto fretta mi scuso.. -
Paolo Rugarli .
User deleted
Non ho ancora letto l'intero intervento. Sono arrivato più o meno fin lì e tutto il ragionamento mi è chiaro. Però mi chiedo........perchè N diminuirebbe con il tempo? I pesi di tutto ciò che è attaccato allo strallo non diminiuiscono. Per "erosione" della sezione aumenterà la sua tensione, ma N "totale" che deriva dalla statica nè può aumentare nè può diminuire.
E' possibile che leggendo il seguito io possa essere smentito. E se ho avuto fretta mi scuso.
L'impalcato precompresso ha una sua rigidezza e non è solo un peso. In quelle condizioni di precompressione reagiva come una grossa mensola a carichi verticali e orizzontali, e assorbiva azioni prima incamerate dagli stralli, decomprimendosi.
La conclusione che la N dovesse diminuire fu tratta a Ottobre, credo, con il modello speditivo 2. Si vide che se uno strallo diciamo Sud perdeva 1N, quella forza "tornava indietro "come kd nello stesso strallo, finiva come ki nello strallo Nord. La somma di kd e ki non era 1, perché una parte andava nell'impalcato. Fu anche visto come cambiavano kd e ki con la corrosione. Ricorderai forse che alla progressiva (lenta) perdita di tiro nello strallo sarebbe seguita una decompressione dell'impalcato, che avrebbe potuto portare alla crisi lo stesso.
Avevo stimato (do più significative del lecito):
kd= -0.276c + 0.5078
ki = -0.116c + 0.3056
Per c=0, kd+ki = 0.8134 < 1.0
Ipotesi velocità di corrosione identiche Sud/Nord.
Edited by Paolo Rugarli - 19/7/2019, 13:22. -
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Quando un metallo si corrode si forma ossido. Il processo ingloba acqua e ossigeno (che pesano) . Se l'ossido non può andarsene perché è intrappolato in un cavidotto, il peso complessivo del cavo (o del fascio di cavi) e per conseguenza la sua massa, inizialmente aumentano.
Da notare che, in tutta questa faccenda, la densità dell'acciaio base non varia.
Mi sbaglio?. -
.lisa, sei tu o ha risposto il tuo pupo?
eccerto che la densità non varia...
Sono io, sono io...tranquillo!
Volevo dire che corrodendosi, il fascio di cavi, teoricamente aumenta di massa, quindi le frequenze, almeno in via teorica, dovevano diminuire.
Quindi Paolo ha ragione su questo.. -
Paolo Rugarli .
User deleted
Dire che c'era ad esempio il 40% di corrosione, c=0.4, non vuole dire che il volume di acciaio corroso era cLA0.
Infatti, per inattivare un trefolo o un filo ai fini statici, basta che una sua pur minima sezione sia corrosa. Se Lc è la lunghezza corrosa (e mi aspetto Lc << L, tanto che wapi51 si sorprendeva delle foto con i cavi rilucenti), il volume corroso è cA0Lc. Quindi secondo me, se è pur vero che la ossidazione comporta un aumento di massa, questo aumento di massa è molto probabilmente assai modesto, tale da agire sulla terza e quarta significativa. Quindi si può assumere m= costante.
Chi fa invece cambiare la prima e la seconda significativa è la N. Avevo a suo tempo stimato, se non ricordo male, che a c=0.65 corrispondesse una diminuzione di N del 30%, e quindi oggi dico una diminuzione di frequenza di circa il 15%.
@Salvatore. Come sai la radice quadrata dipende dal fatto che l'energia cinetica dipende dal quadrato della velocità. La frequenza si trova con il rapporto di Rayleigh, imponendo che la massima (variazione di) energia potenziale (massimo spostamento del cavo nel corso della oscillazione, quando l'energia cinetica è nulla), sia eguale alla massima (variazione di) energia cinetica (quando il cavo passa per la configurazione di equilibrio statico a velocità massima).
A numeratore (termine associato alla forza preesistente N) compare sA, dove s aumenta ed A diminuisce. Ma sA=N, diminuisce per le ragioni già dette.
A denominatore (termine associato alla energia cinetica) non compare A, ma A0, a meno che tu non spieghi perché la massa di 90 m circa di cavo, corroso in una sua lunghezza Lc << L, e intrecciato con gli altri, in moto con gli altri in modo congruente, non possegga energia cinetica.
Inoltre la introduzione del simbolo "1" mi è oscura e non ne ho compreso il significato. In sostanza tu sostieni che la massa di cavo non più attiva ai fini della N (e non dico "la massa di cavo corroso" per le ragioni spiegate), non possiede energia cinetica. Quindi devo dedurre che per te o ha massa nulla, o ha velocità nulla, o scompare. Cosa tutta da spiegare.
Posso suggerire una semplice prova sperimentale.
Ingredienti:- qualche metro di cavo elettrico
- due bottiglie di acqua
- morsetti di giunzione a vite di cavi elettrici (5+5)
- qualche nastro di stoffa
- un cellulare
- due sedie se in casa, due chiodi altriimenti, e un muro
Esecuzione:- Unire tra loro in un fascio 4 cavi di lunghezza eguale con nastri stringendoli non troppo.
- Collegare ai morsetti da ambo i lati.
- Collegare al 5° morsetto un cavo dalla parte opposta e legare una bottiglia piena da ambo i lati
- Tendere il fascio usando il peso eguale delle due bottiglie
- eccitare e filmare.
- Scollegare tre dei 4 morsetti, ad entrambe le estremità
- Eccitare e filmare
- Svuotare le bottiglie per metà.
- Eccitare e filmare con il cellulare le oscillazioni.
- Rivedere i filmati
Qui una idea di quello che intendo:
Vedrai che a 4 cavi collegati (B=bottiglia, N=B, s=B/4A), o a tre cavi scollegati (N=B, s=B/A) le frequenze sono indistinguibili (ma dovrebbero essere una la metà dell'altra secondo la interpretazione che secondo me è sbagliata). Se invece dimezzi il contenuto d'acqua percepisci una ben diversa frequenza (0.7 volte), a riprova che anche a occhio le variazioni di frequenza di un fattore sqrt(0.5)=0.7 le puoi apprezzare.
L'esperimento dimostra anche una altra cosa, che già avevo detto in precedenza. La energia potenziale di una N applicata a un cavo è eguale alla somma di 4 (N/4) applicate a 4 cavi, perché l'energia è estensiva.
Ma allora la precompressione in sé non dà contributo alla frequenza, infatti la N di compressione applicata al cls (negativa) si elide con la per definizione eguale e contraria trazione applicata ai cavi secondari (positiva). Il loro lavoro sommato dà zero.
La precompressione è utile per garantire l'EJ dello strallo in cls finché dura, ovvero per aggiungere alla energia potenziale del tiro applicato la energia di deformazione dello strallo in cls, nel corso della oscillazione. Se la precompressione manca, solo una congrua armatura lenta avrebbe potuto garantire l'esistenza di questo termine.
Quindi, la frequenza dello strallo è governata:
- dalla massa oscillante
- dalla trazione nei cavi primari
- dal contributo elastico della flessione dello strallo (associtao a EJ) solo sinchè c'era precompressione sufficiente e/o armatura lenta efficiente.
Dato che le frequenze degli stralli 10 e 9 erano circa 1.5 e circa 1.9, o si spiega tale differenza con una corrosione fortemente asimmetrica o, come aveva proposto mesi fa credo wapi, con il fatto che gli stralli, ed in particolare la loro massa iniziale, fosse diversa. I 9 avevano in tale ipotesi significativamente meno massa.
Ciò significherebbe che la variazione di frequenza riscontrata dal poli non era un indizio legato alla corrosione, ma un indizio della mancata iniezione. Il che, naturalmente, non vuole dire che la corrosione non sia stata la causa del crollo (fallacia della cattiva motivazione: "L'argomento A è infondato per la conclusione B.Dunque la conclusione B è falsa").
Per indagare meglio la questione della corrosione asimmetrica, se ci sarà il tempo e modo di farlo, servirebbero la s iniziale dei cavi primari e dei cavi secondari, un dato che forse Marcello Savorani ha già.. -
.Chi fa invece cambiare la prima e la seconda significativa è la N. Avevo a suo tempo stimato, se non ricordo male, che a c=0.65 corrispondesse una diminuzione di N del 30%, e quindi oggi dico una diminuzione di frequenza di circa il 15%.
Riflettevo sul fatto che una progressiva variazione di N avrebbe avuto come conseguenza una variazione dell'assetto della catenaria (freccia). Ma in questo caso tale variazione sarebbe stata parzialmente contrastata da un gusciò rigido, almeno fino a un certo punto...
Per valori importanti di deltaN, il guscio (non più libero di assestarsi come in fase di costruzione e non iniettato nel cavidotto principale), avrebbe iniziato a lavorare in pressoflessione, cioè in modo completamente diverso da quanto previsto inizialmente a progetto...
Cosa ne pensi?. -
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Non so se Paolo Rugarli ci legge ancora, né sono molto sicuro di cosa vado a dire.
In un certo senso quello che dico ha una attinenza anche con la variazione di assetto della catenaria, almeno in teoria.
Ci provo, vediamo se ha un qualche senso ciò che dico:
Pensiamo alla pila 11.
Abbiamo inizialmente gli stralli in CAP corrosi, poi vengono montate delle cravatte ad intervalli regolari di 4 mt. forate per far passare i cavi ausiliari di riparazione esterni. Queste cravatte "sono posizionate ogni 4 mt., in modo da adagiarsi sulla reale configurazione a catenaria". (cit. Il risanamento degli stralli del viadotto Polcevera - Pisani, Camomilla e altri).
Poi sostanzialmente vengono passati gli sforzi dallo strallo in CAP a quelli in acciaio di risanamento, cioè il tiro=tensionamento passa alla struttura di risanamento almeno per la maggior parte.
Quindi la catenaria dello strallo in CAP cambia? Quanto? Come sono state progettate le cravatte? Sulla catenaria esistente, su quella con minor tiro=tensionamento? Oppure come?
Poi fatto l'intervento viene fatta una analisi modale del sistema (DYNAMIC INVESTIGATION OF A REPAIRED CABLE‐STAYED BRIDGE)
Ora si tratta di un sistema di cavi di riparazione ad un certo tiro=tensionamento vincolati ad una massa distribuita che è lo strallo in CAP che però a sua volta ha un tiro=tensionamento residuo (che è meno del 50% di quello dei cavi di riparazione se ho ben capito).
In un qualche modo non può essere una sorta di controprova al contrario della tesi di Paolo? Paolo chiede: mantenendo la massa, ma variando il tiro=tensionamento, cosa fa la frequenza? Qui avremmo un caso in cui il tiro=tensionamento dovrebbe essere quello che era prima (o no?), ma si è aumentata la massa mettendo tutta la struttura di risanamento.
Spero di essermi spiegato e di aver anche azzeccato il ragionamento di fondo.... -
.Non so se Paolo Rugarli ci legge ancora, né sono molto sicuro di cosa vado a dire.
In un certo senso quello che dico ha una attinenza anche con la variazione di assetto della catenaria, almeno in teoria.
Ci provo, vediamo se ha un qualche senso ciò che dico:
Pensiamo alla pila 11.
Abbiamo inizialmente gli stralli in CAP corrosi, poi vengono montate delle cravatte ad intervalli regolari di 4 mt. forate per far passare i cavi ausiliari di riparazione esterni. Queste cravatte "sono posizionate ogni 4 mt., in modo da adagiarsi sulla reale configurazione a catenaria". (cit. Il risanamento degli stralli del viadotto Polcevera - Pisani, Camomilla e altri).
Poi sostanzialmente vengono passati gli sforzi dallo strallo in CAP a quelli in acciaio di risanamento, cioè il tiro=tensionamento passa alla struttura di risanamento almeno per la maggior parte.
Quindi la catenaria dello strallo in CAP cambia? Quanto? Come sono state progettate le cravatte? Sulla catenaria esistente, su quella con minor tiro=tensionamento? Oppure come?
Poi fatto l'intervento viene fatta una analisi modale del sistema (DYNAMIC INVESTIGATION OF A REPAIRED CABLE‐STAYED BRIDGE)
Ora si tratta di un sistema di cavi di riparazione ad un certo tiro=tensionamento vincolati ad una massa distribuita che è lo strallo in CAP che però a sua volta ha un tiro=tensionamento residuo (che è meno del 50% di quello dei cavi di riparazione se ho ben capito).
In un qualche modo non può essere una sorta di controprova al contrario della tesi di Paolo? Paolo chiede: mantenendo la massa, ma variando il tiro=tensionamento, cosa fa la frequenza? Qui avremmo un caso in cui il tiro=tensionamento dovrebbe essere quello che era prima (o no?), ma si è aumentata la massa mettendo tutta la struttura di risanamento.
Spero di essermi spiegato e di aver anche azzeccato il ragionamento di fondo...
Su Pila 11, che sappia io, hanno tagliato i cavi di precompressione esterni (quelli della camicia), proprio per evitare che l'eccesso di tiro (dovuto ai nuovi stralli) facesse esplodere il calcestruzzo.
Quanto al riassetto delle catenarie, se hai letto tutto il topic, è una cosa che mi domando anch'io...
Se guardi le formule postate da Afazio, Tiro e freccia sono collegati, quindi se varia uno dovrebbe variare anche l'altra. Questo ovviamente vale per un flessibile libero di riadattarsi, ma se la variazione di forma risultasse impedita (ad esempio da una struttura rigida) dovrebbe comunque svilupparsi un stato tensionale aggiuntivo, simile, per intenderci, al carico equivalente esercitato da un cavo in tensione sulle pareti di un cavidotto parabolico.. -
.Su Pila 11, che sappia io, hanno tagliato i cavi di precompressione esterni (quelli della camicia), proprio per evitare che l'eccesso di tiro (dovuto ai nuovi stralli) facesse esplodere il calcestruzzo.
Quanto al riassetto delle catenarie, se hai letto tutto il topic, è una cosa che mi domando anch'io...
Se guardi le formule postate da Afazio, Tiro e freccia sono collegati, quindi se varia uno dovrebbe variare anche l'altra. Questo ovviamente vale per un flessibile libero di riadattarsi, ma se la variazione di forma risultasse impedita (ad esempio da una struttura rigida) dovrebbe comunque svilupparsi un stato tensionale aggiuntivo, simile, per intenderci, al carico equivalente esercitato da un cavo in tensione sulle pareti di un cavidotto parabolico.
Le guaine in CLS e relativi cavi sono stati tesati per fornire una compressione media di 60 kg/cmq.
La parte iniziale di 2 m ha una compressione di 72 kg/cmq.
Il retrofitting ha portato la tensione a 100 kg/cmq con tutti i cavi primari e secondari tagliati.
I cavi nuovi (corti e lunghi) iniettati.
Se si fanno due conti con i cavi nuovi non si può ottenere la stessa rigidezza iniziale quindi non più rispondente al concetto di stralli rigidi e appoggi infinitamente rigidi.
Quindi si sono iniettate le guaine dei cavi nuovi e aumentata la precompressione a 100 kg/cmq.
La freccia massima in mezzeria è pari a 0,90 cm circa uguale a quella verificata con le misure in sito quindi le ipotesi progettuali di Pisani erano corrette.. -
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[/IMG]
Ha visto qualcuno la CNR DT 207 ?. -
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Formula che è la stessa di quella iniziale dalla quali Paolo Rugarli è partito per esporre i suoi dubbi.
In discussione non era la formula se corretta o meno, la conoscenza della formula è un requisito basilare per chi vuole seguire o contribuire al quesito proposto da Rugarli che invece chiedeva gli effetti della corrosione sulla frequenza di vibrazione.
La stessa formula la avevo implementata in un foglio di calcolo che avevo anche pubblicato nel topic la fune..
Il paradosso dello strallo corrosoUna questione sottile |
