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Il termine inglese non distingue tra instabilità globale ed instabilità locale
Vogliamo parlare dell'instabilità locale delle sezioni a spessore sottile? Il fenomeno del buckling che ci affligge costringendoci spesso a cambiar profilo.
Una raccolta di formule, che riguardano il fenomeno, finalizzata alla composizione di un foglio che le contempli tutte e che ci permetta di condurre una qualche verifica spedita di una qualche sezione particolare. Una discussione aperta a tutti quanti.
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Premetto che gran parte di quanto riporterò nei prossimi post lo potete facilmente trovare in un qualsiasi testo che tratta del fenomeno della instabilità locale e non per ultimo in uno qualsiasi dei pdf che potrete trovare in rete con una semplice ricerca basata su keyword contenente la parola "Buckling".
Voglio comunque riportare in questo topic le formule teoriche basilari che governano il fenomeno per poterle avere tutte riunite in questo topic.
Inizio pertanto da:
piastra di dimensioni axb e spessore t semplicemente appoggiata ai bordi e caricata lungo il bordo b (praticamente lo schema riportato nell'immagine del post precedente).
Indicando con wz(x,y) klo spostamento nel punto generico di coordinate (x,y), l'equazione di equilibrio della piastra si esprime mediante l'equazione :
Ricorrendo alla sviluppo in serie doppia assumendo quindi una deformata espressa da:
in cui sono rispettate le condizioni al contorno:
per x=0 e x=a --->w=0
per y=0 e y=b ---> w=0
ed in cui m ed n sono interi (1,2....)
mettendo insieme le due relazioni si perviene all'espressione del carico critico:
Il valore minimo del carico critico si verifica sempre per n=1, cioè per una sola semionde nella direzione b, quindi la precedente espressione diventa:
ponendo:
e dividendo ambo i membri per t otteniamo l'espressione della tensione critica:
Edited by afazio - 29/1/2015, 11:55
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Quest'ultima formula coincide con quella assunta sia in Eurocodice 3 part 1-5 che in qualsiasi altra normativa.
in questo modo tutto viene relegato al valore del parametro k che, come abbiamo visto dipende dalla assunzione di una deformata che rispetti le condizioni al contorno e quindi dipende dal rapporto a/b o il suo inverso e dalle condizioni di vincolo ai bordi del pannello.
La tensione critica euleriana la possiamo immediatamente determinare conoscendo lo spessore, il materiale e la dimensione b della piastra.
Ma k dipende anche dall'intero m e cioè dal numero di semionde sinusoidali che si formano lungo la direzione a (quelle formatisi nella direzione b le abbiamo fissate prima).
Basta quindi riuscire a trovare il minimo della funzione k=f(a/b, m) per avere univocamente ricavato la tensione critica della piastra.
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Mi sono divertito a plottare la funzione k= (m*b/a +a/(m*b))² al variare del rapporto b/a ed al variare del numero m di semionde lungo la direzione di a ottenendo il tipico diagramma che si trova nei testi.
[in ascisse il rapporto b/a, in ordinate il valore di k]
riscontrando che il valore minimo per ogni curva è pari a k=4
Quindi per piastre con contorno in semplice appoggio la tensione critica è pari a quattro volte la tensione critica Euleriana.
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A questo punto, per puro sfizio, voglio determinare analiticamente il valore del rapporto b/a che, relativamente alla curva per m=1 , fornisce il valore minimo di k.
Sostituendo m=1 e b/a= p nella formula k=[m*b/a +a/(m*b)]² otteniamo:
k1 = [p +1/p]²
derivando rispetto a p otteniamo:
dK1/dp = 2p-2/p³ [correzione in rosso a seguito intervento di reversi]
annullando la derivata otteniamo il valore di p che rende minimo K1
2p-2/p³ = 0 --> p=1 da cui b/a= 1 quindi a=b
sostituendo p=1 nell'espressione di K1, otteniamo:
K1=(p+1/p)² = (1+1)²=4
Edited by afazio - 29/1/2015, 14:57
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CITAZIONE (afazio @ 29/1/2015, 14:41) k1 = [p +1/p]²
derivando rispetto a p otteniamo:
dK1/dp = 2p-2/p
derivando rispetto a p otteniamo:
dK1/dp = 2[p+1/p][1-1/p2]
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CITAZIONE (reversi @ 29/1/2015, 14:52) CITAZIONE (afazio @ 29/1/2015, 14:41) k1 = [p +1/p]²
derivando rispetto a p otteniamo:
dK1/dp = 2p-2/p derivando rispetto a p otteniamo: dK 1/dp = 2[p+1/p][1-1/p 2]
Hai ragione. Ho corretto il mio intervento
Vuoi provare a postare il procedimento relativo ad m=2?
(il risultato dovrebbe essere: p=1/2, k=4)
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sostituendo m=2 e ponendo b/a=p si trova:
k2 = [2p + 1/(2p)]2
derivando rispetto a p si ha:
dk2/dp = 2[2p + 1/(2p)][2 - 1/(2p2)]
ponendo tale derivata pari a zero ed osservando che i primi 2 fattori sono sempre non nulli, è sufficiente che:
[2 - 1/(2p2)] = 0
da cui:
2 = 1/(2p2)
4p2 = 1
p = 1/2
k2 = 4
Edited by reversi - 29/1/2015, 16:52
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Per m=2 si ha:
K2 = (2*p+1/2*p]²
dK2/dp = 8p-1/(2*p³)
8p-1/(2*p³) =0 ---> 16*p4-1=0 da cui p=1/2
sostituendo p=1/2 nella formula di K2 si ottiene ancora una volta K2=4
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Inutile riportare i calcoli per m=3 o superiori. Il grafico parla chiaro: il carico critico minimo si ha per k=4.
A questo punto è facile intuire che possedendo il valore di k per cui si ha il carico critico minimo per diverse condizioni di vincolamento del contorno della piastra possiamo determinae con un semplice prodotto il carico critico in qualsiasi condizione, basta applicare la formula:
E' anche immediato comprendere che la funzione k=f(b/a,m) dipende per forza dalla assunzione delle deformata w(x,y) e quindi dalla serie doppia che deve soddisfare condizioni al contorno differenti rispetto a quelle di bordo in semplice appoggio.
A questo punto ho fede e senza tanti fronzoli formulose riporto direttamente i valori di k relativamente a diverse condizioni di vincolo:
In questa tabella, la singola linea tratteggiata rappresenta un semplice appoggio mentre la doppia linea tratteggiata rappresenta un incastro.
I valori di k ivi riportati si riferiscono a condizione di carico assiale uniforme (quindi pura compressione)
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I pannelli che ho disegnato nella tabella grafica precedente possono essere visti come i diversi pannelli che formano un elemento con sezione a pareti sottili.
Un esempio è il moncone di elemento avente sezione rettangolare cava (elemento tubolare rettangolare):
Ogni faccia del tubo puo' essere vista come un pannello appoggiato lungo i bordi e caricato alle due estremità libere. Questa ipotesi è tanto più vera quanto più deformabile alla rotazione è lo spigolo che unisce i pannelli ed in genere quando ciascun pannello ha scarsa rigidezza flessionale. Cosa diversa sarebbe se lo spessore di due facce parallele fosse molto maggiore dello spessore delle rimanenti due facce.
Il carico critico del pannello evidenziato in nocciola si puo' determinare mediante la formula precedente in cui viene posto k=4.
Da qui è facile estendere il concetto al caso di tubo composto da una sezione poligonale regolare (esempio un ottagono regolare o un dodecagono o simile).
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CITAZIONE (afazio @ 29/1/2015, 13:21) Mi sono divertito a plottare la funzione k= (m*b/a +a/(m*b))² al variare del rapporto b/a ed al variare del numero m di semionde lungo la direzione di a ottenendo il tipico diagramma che si trova nei testi.
....
Guardando meglio questo diagramma ho notato che in effetti non è proprio uguale a quelli riportati nei testi che trattano della instabilità della piastra appoggiata al contorno. In questi ultimi la curva per m=1 parte a sinistra delle rimanenti e non a destra come nel grafico che ho postato.
Ho poi visto che la differenza consiste nel fatto che i testi riportano il diagramma della funzione al variare del rapporto a/b e non b/a.
Ecco il diagramma corretto:
Edited by afazio - 31/1/2015, 14:45
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In quest'ultimo diagramma, assumono partcolare importanza i punti di "transizione" e cioè quei punti in corrispondenza dei valori di a/b per cui si ha il passaggio da una configurazione deformata avente m semionde alla configurazione deformata avente (m+1) semionde.
I punti di transizione possono determinarsi imponendo l'uguaglianza:
[m*b/a +1/(m*b/a)]² = [(m+1)*b/a +1/((m+1)*b/a)]²
ponendo q=a/b si trasforma in
[m/q +q/m]² = [(m+1)/q +q/(m+1)]²
da cui:
q= radq[m*(m+1)]
Con questa possiamo determinarci i rapporto a/b per cui si ha transizione ed i corrispondenti valore di k
Per m=1 (quindi punto di transizione tra una semionda e due semionde) si ha
q= RadQ[1*(1+1)] = radq(2)
a cui corrisponde il valore di k=4.50
In ogni caso anche a fronte di un k maggiore di 4.00 a causa di un rapporto a/b non intero, le norme prevedono comunque l'uso di k=4
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Altra cosa da evidenziare è il comportamento di piastre strette e lunghe cioè quando il rapporto a/b è molto piccolo (che significa b>>a ). In questo caso il comportamento della piastra in fase di instabilizzazione si assimila a quello di una semplice trave di lunghezza b unitaria ed altezza a, e quella che era la rigidezza flessionale della piastra [D=1/12*E*t³/(1-ni²)] viene sostituito dalla rigidezza flessionale della trave.
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164 replies since 29/1/2015, 09:33 10545 views
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