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Determinare la dimensione ed il volume del cono di volume massimo inscrivibile in una sfera. Attached Image
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credo che questo problema, apparentemente più difficile dei precedenti, si possa approcciare grazie alla proprietà dei triangoli rettangoli secondo cui l'altezza riferita all'ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa stessa.
ne risulta perciò un legame tra il raggio R della sfera, il raggio r di base del cono e l'altezza h del cono:
(2R - h) : r = r : h
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Si potrebbe utilizzare la tecnica di afazio impiegata per il cilindro inscritto nella circonferenza.
fissando r=K*R
area di base del cono
A=pi*k^2*R^2
Altezza del cono
h=R+R*sen(alfa) oppure R + sqrt(R^2-r^2)
con r=R*cos(alfa) e d=2*R*cos(alfa)
Volume del cono
V=A*h/3
V=pi*k^2*R^2*(R+sqrt(R^2-r^2))/3
V=pi*k^2*R^2*(R+sqrt(R^2-(k*R)^2))/3
l'angolo alfa stavolta dovrebbe attestarsi intorno ai 19 gradi sessadecimali come da screenshot excel.
k=cos(alfa)=0.945..
completo il calcolo
V=pi*k^2*R^2*(R+sqrt(R^2-(k*R)^2))/3
V'=(2/3)*Pi*k*R^4*(R+sqrt(-R^2*k^2+R^2))-(1/3)*Pi*k^3*R^6/sqrt(-R^2*k^2+R^2)=0
da cui ottengo le seguenti tre soluzioni
k=0, k=-(2/3)*sqrt(2), k=(2/3)*sqrt(2)
teniamo per buona la terza soluzione
k=(2/3)*sqrt(2)
k=0.9428090416
acos(k)=19.47122063 gradi sessadecimali
seguendo invece la traccia goniometrica abbiamo che
V=(1/4)*pi*(2*cos(alfa)*R)^2*(R+R*sin(alfa))*(1/3)
derivando ed uguagliando a 0
V'=-(2/3)*Pi*cos(alfa)*R^2*(R+R*sin(alfa))*sin(alfa)+(1/3)*Pi*cos(alfa)^3*R^3=0
da cui ottengo quattro soluzioni
alfa=-(1/2)*Pi, alfa=arctan((1/4)*sqrt(2)), alfa=-arctan((1/4)*sqrt(2))+Pi, alfa=(1/2)*Pi
teniamo per buona la seconda soluzione
alfa=arctan((1/4)*sqrt(2))
alfa=19.47122063 gradi sessadecimali
V=(32/81)*Pi*R^3
Edited by texitaliano64 - 20/6/2015, 13:32Attached Image
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CITAZIONE (reversi @ 16/6/2015, 22:25) ne risulta perciò un legame tra il raggio R della sfera, il raggio r di base del cono e l'altezza h del cono:
(2R - h) : r = r : h
seguendo la mia strada si trova:
r^2 = (2R - h)*h
quindi il cono ha area di base:
A = pi*r^2 = pi*(2R - h)*h
e volume:
V = [pi*(2R - h)*h^2]/3
la sua derivata (a meno delle costanti, che sono ininfluenti in vista della futura uguaglianza a zero) rispetto ad h è:
V' = 4Rh - 3h^2
che si annulla per:
h = 4R/3
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essendo h=4*R/3 abbiamo che
alfa=asin((4*R/3-R)/R)
che mi da alfa=asin(1/3), pari a 19.47122062.. gradi sessadecimali in accordo con il grafico del foglio di excel
pertanto essendo k=cos(alfa) abbiamo che
k=23/2/3
k=0.9428090416...
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Ciao Reversi, potresti spiegarmi come hai trovato la formula (2R-h) : r= r: h per favore?
CITAZIONE (Tizi @ 5/3/2024, 16:31) Ciao Reversi, potresti spiegarmi come hai trovato la formula (2R-h) : r= r: h per favore?
Ciao Reversi, potresti spiegarmi come hai trovato la formula (2R-h) : r= r: h per favore?
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