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.L'analisi di un edificio in muratura portante non può prescindere dall'analisi dei suoi possibili meccanismi locali (meccanismi di primo modo).
Durante una di queste verifiche, mi sono trovato con risultati discordanti tra loro, applicando quando riportato in una dispensa e quanto fornito da un file excel reperito in rete, da fonte che reputo affidabile.
Questa è la scintilla che fa nascere questa discussione, cercare di impostare la routine di calcolo dei meccanismi locali, a partire da quello più semplice in assoluto: muro con schema statico assimilabile a mensola.
Riferimento normativo è la circolare del DM08, al capitolo C8A.4 ANALISI DEI MECCANISMI LOCALI DI COLLASSO IN EDIFICI
Partirei con analisi cinematica lineare, capitolo C8A.4.1.
Ipotizziamo una mensola in muratura, spessore t, altezza h, lunghezza unitaria, peso W.
Fig. 1
Per sapere qual'è il moltiplicatore dei carichi alfa0 che provoca il suo ribaltamento come corpo rigido, meccanismo di primo modo, posso seguire due strade:
- equilibrio alla rotazione rispetto al punto O;
- imposto il PLV.
Caso 1)
Mribaltante=alfa0*W*h/2;
Mstabilizzante=W*t/2;
La situazione di equilibrio limite mi porta a ricavare che alfa0=t/h.
Caso 2)
Impongo una rotazione teta attorno al punto O.
Fig. 2
Il baricentro G va a finire in G', secondo uno spostamento che può essere scomposto in una componente orizzontale di verso concorde alla rotazione teta (segmento GA) e una componente verticale verso l'alto (segmento AG').
Fig. 3
Nell'ipotesi di piccoli spostamenti, l'angolo OGG' è retto, mentre l'angolo AGG' è pari all'angolo teta.
Il segmento OG è di lunghezza [(t/2)^2+(h/2)^2]^0,5.
Il seno di teta è pari a (t/2)/(OG).
Il coseno di teta è pari a (h/2)/(OG).
Sempre per l'ipotesi di piccoli spostamenti, GG'=teta*OG.
Il segmento AG vale quindi GG'*cos(teta)=teta*OG*(h/2)/(OG)=teta*h/2.
Il segmento AG' vale quindi GG'*sen(teta)=teta*OG*(t/2)/(OG)=teta*t/2.
Applicando il PLV, come da indicazioni anche della circolare del DM08, ho quindi
alfa0*W*teta*h/2-W*teta*t/2=0
da cui ancora una volta ricavo alfa0=t/h.
Secondo voi è corretto così come è impostato il calcolo di alfa0 col metodo del PLV?
Grazie
. -
.Caso 2)
...
Nell'ipotesi di piccoli spostamenti, l'angolo OGG' è retto, mentre l'angolo AGG' è pari all'angolo teta.
il caso 2 non lo capisco, perché non vedo come si possa affermare che l'angolo AGG' sia pari a teta.
se teta cambia, per via di una maggiore rotazione, l'angolo AGG' rimane invariato, ergo non è uguale a teta.. -
.Caso 2)
Impongo una rotazione teta attorno al punto O.
(IMG:http://imageshack.com/a/img537/5570/MgNMdX.jpg)
Fig. 2
Il baricentro G va a finire in G', secondo uno spostamento che può essere scomposto in una componente orizzontale di verso concorde alla rotazione teta (segmento GA) e una componente verticale verso l'alto (segmento AG').
(IMG:http://imageshack.com/a/img905/3594/wGk1JF.jpg)
Fig. 3
Nell'ipotesi di piccoli spostamenti, l'angolo OGG' è retto, mentre l'angolo AGG' è pari all'angolo teta.
Il segmento OG è di lunghezza [(t/2)^2+(h/2)^2]^0,5.
Il seno di teta è pari a (t/2)/(OG).
Il coseno di teta è pari a (h/2)/(OG).
Sempre per l'ipotesi di piccoli spostamenti, GG'=teta*OG.
Il segmento AG vale quindi GG'*cos(teta)=teta*OG*(h/2)/(OG)=teta*h/2.
Il segmento AG' vale quindi GG'*sen(teta)=teta*OG*(t/2)/(OG)=teta*t/2.
Applicando il PLV, come da indicazioni anche della circolare del DM08, ho quindi
alfa0*W*teta*h/2-W*teta*t/2=0
da cui ancora una volta ricavo alfa0=t/h.
Secondo voi è corretto così come è impostato il calcolo di alfa0 col metodo del PLV?
Grazie
Le ipotesi fatte nel caso 2, come ti ha anche evidenziato Reversi, non sono corrette.
Devi fare entrare in gioco l'angolo che il vettore posizione OG forma con l'asse x (o se preferisci con l'asse y o qualsiasi asse a piacere se vuoi complicarti la vita).
Considera lo schema che segue (costruito per meglio notare differenze o uguaglianze)
L'angolo α che il segmento OG forma con l'orizzontale lo ritroviamo nel triangolo rettangolo AGG' nella posizione che ho indicato in figura.
La dimostrazione è immediata basta ricordare che l'angolo che ho indictao con β, complementare di α, lo ritroviamo come angolo alla base del triangolo che ci interessa dovendo essere due volte complementare sempre ad α. Ma lascio a te la dimostrazione per evitare di incartarmi.
Adesso possiamo applicare il principio dei lavori virtuali sapendo che le due componenti dello spostamento GG' sono
secondo x : GG'*sen(α)
secondo y : Gg'*cos(α)
Poi occorre ricordare che vale la relazione
tanα= h/t
e perviene alla stessa soluzione cui sei pervenuto tu ma con procedimento corretto.. -
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Mamma che svista! Sarebbe bastato fare una misura dei due angoli in autocad per vedere che stavo prendendo una cantonata...
Grazie. -
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Il primo caso postato è forse più teorico che pratico, in quanto credo che sia molto difficile trovare una muratura con quello schema statico.
L'unico caso che mi viene in mente potrebbe essere ad esempio una muratura divisoria realizzata all'interno di un edificio prefabbricato non vincolata in sommità al fine di non interferire con gli elementi portanti (travi, ecc) per consentirne gli abbassamenti senza gravare sulla muratura stessa.
Caso 2)
Per rendere più completo il caso e prendere dimestichezza con questo genere di verifiche, si può aggiungere un carico N in sommità, spostato di d rispetto al punto O.
Fig. 2.1
Col PLV, applico rotazione teta
Fig. 2.2
Zoom del punto P che si sposta in P'
Fig. 2.3
Per similitudine col caso 1, lo spostamento BP=teta*h
lo spostamento BP'=teta*d
Applico PLV
alfa0*(W*teta*h/2+N*teta*h)-W*teta*t/2-N*teta*d=0
semplificando
alfa0=(W*t/2+N*d)/(W*h/2+N*h)
spero senza svarioni.... -
.Per rendere più completo il caso e prendere dimestichezza con questo genere di verifiche, si può aggiungere un carico N in sommità, spostato di d rispetto al punto O.
Fig. 2.1
...
In questo caso il polo di rotazione è differente a seconda se d<t/2 o d>t/2.
Se d>t/2, il polo di rotazione è l'altro spigolo ed è quello per cui si ha il moltiplicatore minimo.
Nota infatti che lo sforzo verticale che hai aggiunto in sommità, per d>t/2, diventa stabilizzante per il ribaltamento attorno al polo che hai scelto (quello di sinistra) con contributo maggiore che non rispetto al ribaltamento attorno all'altro spigolo..
Se d=t/2 è indifferente la scelta dell'uno o dell'altro spigolo.. -
.In questo caso il polo di rotazione è differente a seconda se d<t/2 o d>t/2.
Se d>t/2, il polo di rotazione è l'altro spigolo ed è quello per cui si ha il moltiplicatore minimo.
Nota infatti che lo sforzo verticale che hai aggiunto in sommità, per d>t/2, diventa stabilizzante per il ribaltamento attorno al polo che hai scelto (quello di sinistra) con contributo maggiore che non rispetto al ribaltamento attorno all'altro spigolo..
Se d=t/2 è indifferente la scelta dell'uno o dell'altro spigolo.
osservazione più che corretta.
tuttavia, sebbene il disegno vada aggiustato (mettendo N dall'altra parte rispetto a G), la formula rimane invariata.
un unico disegno è poi sufficiente per ambo i casi individuati da afazio, perché tutto dipende dal lato dal quale si guarda la parete.. -
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Concordo pienamente: sugli appunti fatti a mano prima di scrivere infatti mi ero fatto qualche caso limite, che però mi ero detto, li posterò alla prossima occasione, quanto alle figure...vedrò di postare un pdf riassuntivo con formule messe più decenti, oltre che i disegni.
Prima di queste cose però, volevo, appena posso, capire l'influenza della posizione del punto O, per ora posizionato esattamente sullo spigolo, che equivarrebbe ad una muratura con resistenza infinita, ma questo non è vero.
Alla prossima. -
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Intervento probabilmente inutile, ma serve soprattutto al sottoscritto per riordinare le idee e verificarne la correttezza.
Analisi limite per meccanismi locali nelle murature.
Operativamente il problema è individuare tutti i meccanismi di collasso possibili, e tra questi, quello a cui corrisponde il valore più piccolo del moltiplicatore di collasso.
L'analisi limite valuta la condizione di equilibrio di una struttura labile, costituita dall'assemblaggio di porzioni murarie rigide.
Ipotesi alla base:- i blocchi costituenti il cinematismo sono rigidi;
- resistenza a trazione nulla della muratura (ipotesi a favore di sicurezza);
- assenza di scorrimento tra i blocchi;
- resistenza infinita della muratura che equivale a considerare cerniere puntuali (ipotesi a sfavore di sicurezza).
Riprendo in considerazione il primo caso postato, che fa parte di quei cinematismi che vengono definiti di "ribaltamento semplice".
Caso 1)
Come già fatto notare anche dagli interventi precedenti, per come è stato posto il problema, la parete può ribaltare sia ruotando in senso antiorario, ma anche orario.
Il procedimento, a rigore, prevede quindi la stima di due moltiplicatori di collasso, uno legato alla rotazione antioraria, l'altro legato alla rotazione oraria.
Va rimossa l'ipotesi che il peso proprio della parete agisca a quota h/2, al fine di tener conto di possibili aperture che possono far variare la quota del baricentro della stessa per via di aperture presenti, ecc.
Se sulla parete sono da considerare n carichi Pi, distanti in orizzontale dal polo di sinistra di e posti alla quota yi dalla base della parete, l'espressione per il calcolo di alfa0 legato alla rotazione antioraria può essere scritta come
alfa0-antior=(P1*d1+P2*d2+...Pn*dn)/(P1*y1+P2*y2+...Pn*yn)
Se voglio il moltiplicatore alfa0-orario, definisco
d'i=t-di
con t pari allo spessore della parete e quindi
alfa0-orario=(P1*d'1+P2*d'2+...+Pn*d'n)/(P1*y1+P2*y2+...Pn*yn)
L'alfa0 da considerare per le verifiche è quindi
alfa0=min(alfa0antior,alfa0-orario). -
.Caso 1)
Come già fatto notare anche dagli interventi precedenti, per come è stato posto il problema, la parete può ribaltare sia ruotando in senso antiorario, ma anche orario.
Il procedimento, a rigore, prevede quindi la stima di due moltiplicatori di collasso, uno legato alla rotazione antioraria, l'altro legato alla rotazione oraria.
Va rimossa l'ipotesi che il peso proprio della parete agisca a quota h/2, al fine di tener conto di possibili aperture che possono far variare la quota del baricentro della stessa per via di aperture presenti, ecc.
secondo me ti stai facendo un po' troppi problemi, di cui alcuni inutili e fuorvianti: non puoi creare un "caso globale" che racchiude tutti i possibili sottocasi.
il caso 1) è quello della parete a sezione costante. lo hai risolto ed hai finito. poi hai aggiunto un carico in testa, lo hai risolto e hai finito. volendo, il caso 2 comprende il caso 1 quando N in testa vale 0.
ora, non stare a perdere tempo. passa al caso 3 in cui la parete ha un'apertura. lascia perdere il lavoro di prima, che quello funziona così com'è.. -
.secondo me ti stai facendo un po' troppi problemi, di cui alcuni inutili e fuorvianti: non puoi creare un "caso globale" che racchiude tutti i possibili sottocasi.
Con tutta sincerità, fatico a capire il perchè siano inutili e fuorvianti...
L'unica motivazione per cui riesco ad essere d'accordo con inutili e fuorvianti, che in parte avevo già riportato in uno dei miei primi interventi,Il primo caso postato è forse più teorico che pratico, in quanto credo che sia molto difficile trovare una muratura con quello schema statico.
L'unico caso che mi viene in mente potrebbe essere ad esempio una muratura divisoria realizzata all'interno di un edificio prefabbricato non vincolata in sommità al fine di non interferire con gli elementi portanti (travi, ecc) per consentirne gli abbassamenti senza gravare sulla muratura stessa.
è la seguente considerazione: il 'caso 1' credo sia di difficile riscontro nella pratica, in quanto la possibilità che il meccanismo di ribaltamento semplice si verifichi sia in senso orario che antiorario è relegata alle sole murature che possono essere considerate con uno schema a 'mensola', o forse sarebbe meglio dire le cui condizioni di vincolo all'interno della struttura rendano possibile il realizzarsi del cinematismo di ribaltamento in entrambi i versi.
L'ulteriore considerazione che andrebbe fatta, secondo me, è che negli edifici ordinari questa possibilità di regola non c'è, perchè se il ribaltamento in un senso della parete è lecito in quanto implica ad esempio il trascurare il contributo di resistenza a trazione delle murature poste ad esempio sui lati verticali, nell'altro verso, vorrebbe dire trascurare il contributo di resistenza a compressione della muratura, che però non ha senso, ma questo non impedisce la formazione di altre tipologie di meccanismi, che spero di arrivare ad analizzare.
Quanto al cercare di generalizzare i casi, dovrebbe tornare utile, (ripeto dovrebbe, quando ci arriverò, vedrò se avrò buttato via tempo per niente), per analizzare il ribaltamento di pareti su più livelli, finalizzato, speriamo, alla implementazione di un supporto di calcolo, oppure credo possa tornare utile per verificare pareti pre e post intervento, ad esempio in seguito alla realizzazione di una nuova apertura.
Il punto fermo per ora è che siamo fermi (brutto gioco di parole) al solo meccanismo di ribaltamento con l'analisi cinematica lineare, quindi la strada è ancora lunga (solo per citare qualche altro contributo per ora trascurato, l'effetto di tiranti, elementi strutturali che oltre a carico orizzontale trasmettono spinte orizzontali, ecc). -
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Aggiungo un piccolo pezzo.
Per tener conto della limitata resistenza della muratura, in prima battuta mi sarei aspettato di considerare nella zona compressa un diagramma di pressioni rettangolari e una tensione pari a 0.85*fd, così come proposto in normativa per le verifiche a flessione della muratura.
In realtà da quello che ho trovato in giro ho visto che viene considerato un diagramma di pressioni triangolare, con pressione massima pari a fd.
Ho provato quindi a cercare di capire quanto può influire considerare una o l'altra distribuzione.
L'arretramento della posizione della cerniera è pari all'arretramento della posizione della risultante delle pressioni nella muratura nella zona di base.
Nel caso di distribuzione rettangolare di pressione, la porzione di muratura reagente vale, con carichi Pi in [forza]/[lunghezza]
x=(P1+P2+...+Pn)/(0.85*fd)
da cui l'arretramento vale
arett=0.5x=0.5*(P1+P2+...+Pn)/(0.85*fd)=0.588*(P1+P2+...+Pn)/(fd)
Nel caso di distribuzione trinagolare di pressione, la porzione di muratura reagente vale, con carichi Pi in [forza]/[lunghezza]
x=2*(P1+P2+...+Pn)/(fd)
da cui l'arretramento vale
atriang=1/3*x=1/3*2*(P1+P2+...+Pn)/(fd)=0.667*(P1+P2+...+Pn)/(fd).
Volendo porsi a favore di sicurezza senza farsi tante domande, si prende l'arretramento che deriva dalla distribuzione triangolare.
Ma perchè si scarta la distribuzione rettangolare?
La risposta che mi son dato è che con la distribuzione rettangolare, oltre che essere meno conservativo, sto sfruttando al 100% tutte le risorse della muratura, e quindi non dovrei più avere collasso della stessa per il cinematismo ma per il carico verticale.
Edited by ing82 - 7/7/2015, 14:38. -
.Volendo porsi a favore di sicurezza senza farsi tante domande, si prende l'arretramento che deriva dalla distribuzione triangolare.
Ma perchè si scarta la distribuzione rettangolare?
La risposta che mi son dato è che con la distribuzione rettangolare, oltre che essere meno conservativo, sto sfruttando al 100% tutte le risorse della muratura, e quindi non dovrei più avere collasso della stessa per il cinematismo ma per
il carico verticale.
la penso anch'io così, quindi siamo in due.
il fatto è che la verifica dei meccanismi locali deve servire a dimostrare che tutti i meccanismi individuati si manifestano solo dopo il collasso globale, e non prima. quindi la distribuzione delle tensioni al piede deve essere quella che precede il collasso globale proprio al fine di dimostrare che, nelle effettive condizioni che precedono il collasso globale, il meccanismo non si forma.. -
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Contributo dei tiranti:
aggiungere il contributo dei tiranti non dovrebbe essere cosa difficile, in quanto si deve considerare una forza che agisce in direzione orizzontale e verso opposto a quello del cinematismo.
Quando si impone una rotazione teta alla parete, il punto di applicazione della forza trasmessa dal tirante compie uno spostamento che può essere scomposto come in precedenza in una componente orizzontale e in una componente verticale.
Applicando il PLV, si ha che l'unico contributo che offre la forza esercitata dal tirante è per la componente orizzontale, mentre è nullo per la componente verticale dello spostamento (spostamento e forza sono perpendicolari, lavoro nullo in quanto il lavoro è il prodotto scalare tra forza e spostamento).
Per quanto già ricavato precedentemente si ha quindi che il contributo da aggiungere all'espressione del PLV legata ad un tirante, detta T l'azione di tiro esercitata, yt la distanza verticale rispetto al centro di rotazione del punto di applicazione di yt,
è pari a
Ltirante=-T*teta*yt
da cui quindi l'espressione aggiornata di alfa0
alfa0=(P1*d1+P2*d2+...+Pn*dn+T*yt)/(P1*y1+P2*y2+...+Pn*dn).. -
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Contributo riferito ad elementi "spingenti" quali archi, volte, ecc.
Questo tipo di elementi strutturali, in regime statico, scarica sulla parete una reazione che può essere scomposta in una
componente verticale, che chiamiamo P_arco_v, e in una componente orizzontale, che chiamiamo P_arco_o.
Queste due componenti agiscono ad una quota y_arco in verticale, e ad una distanza d_arco orizzontale dal centro di rotazione.
Durante un evento sismico, a queste due componenti si aggiugne quella orizzontale alfa0_P_arco_v, che rappresenta la
quota di carico che viene trasformata in forza orizzontale dall'azione sismica (perdonate l'espressione poco tecnica).
Per la scomposizione dello spostamento subito dal punto di applicazione nelle due componenti orizzontale e verticale, l'ulterio
contributo al PLV associato a questo tipo di elementi dovrebbe quindi essere pari a:
L_spingente=alfa0*P_arco_v*teta*y_arco - P_arco_v*teta*d_arco + P_arco_o*y_arco
da cui quindi l'espressione aggiornata di alfa0
alfa0=(W*dw+P1*d1+...+Pn*dn+T*yt+PVa*da-PHa*ya)/(W*yw+P1*y1+...+Pn*dn+PVa*ya).
dove
- i termini con W sono riferiti al peso proprio;
- i termini d... sono le distanze orizzontali tra il punto di applicazione e la cerniera;
- i termini y... sono le distanze verticali tra il punto di applicazione e la cerniera;
- il termine PVa è la componente verticale dello scarico di un arco/volta;
- il termine PHa è la componente orizzontale dello scarico di un arco/volta.
Questa una prima versione molto primitiva di foglio di calcolo di supporto
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Muratura: meccanismi locali |
