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.L'immagine allegata riporta tre sagome di altrettanti cammelli disposti sui lati di un triangolo rettangolo. Le tre sagome sono simili tra loro.
Dimostrare il famoso teorema dei tre cammelli :
L'area di un cammello costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei due cammelli costruiti sui cateti.Attached Image
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Forse vi sembrerà uno scherzo. Non lo è. . -
.SPOILER (clicca per visualizzare)io credo che qualunque sia l'area I del cammello costruito sull'ipotenusa i, per un semplice fatto dimensionale (nel senso di unità di misura), sarà I = k*i2 essendo k la costante di proporzionalità.
poiché le figure sono simili per definizione, allora gli altri cammelli avranno rispettivamente area A = k*a2 e B = k*b2 con k che è la stessa di prima.
sommando e semplificando per k si ottiene il teorema di pitagora che è vero, da cui è vero pure che I = A + B.. -
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Non sono d'accordo con Reversi.
La costante di proporzionalità lineare k diventa per le aree un k².
Per un normale rettangolo di lati A e B, e quindi di area A*B, se applicassimo un fattore di proporzionalità k ad ogni lato, facendo diventare A ---> k*A e B ---> k*B, alla fine otterremmo un'area pari a k²*A*B.
Quindi nel caso del triangolo rettangolo detti At e Bt i cateti e Ct l'ipotenusa del triangolo, si ha la classica relazione del teorema di Pitagora:
Ct²=At²+Bt²
Ma se ipotizzassimo che At=k*Ct e Bt=j*Ct (dove sia k che j sono inferiori all'unità) potremmo scrivere:
Ct²=Ct²*(k²+j²), ovvero: 1=k²+j², e quindi: j²=1-k²
Quindi si può esprimere il tutto sempre in funzione di k.
Tornando all'area dei cammelli.
Dette A, B, e C le aree dei cammelli rispettivamente nei due cateti e nell'ipotenusa, allora potremmo sempre scrivere:
C²=k²*C²+(1-k²)*C²
da cui:
C²=k²*C²+C²-k²*C²
che è una eguaglianza. Ossia dimostrato l'assunto.. -
.Non sono d'accordo con Reversi.
La costante di proporzionalità lineare k diventa per le aree un k².
...
Complimenti ad entrambi.
Il k di Reversi è la costante di proporzionalità, dato che lo ha definito come rapporto tra area del cammello e area del quadrato costruito sul relativo lato. Infatti ha scritto la relazione:
I= k*i²
da cui k=I/i²
Adesso uso la notazione di zax, e cioè, lati a, b e c (con c =ipotenusa) ed aree dei cammelli A, B e C (con C=cammello sull'ipotenusa).
Nelle figure simili, le aree stanno tra loro nello stesso rapporto in cui stanno i quadrati di due elementi lineari corrispondenti nella similitudine, quindi:
C:c² = A:a² = B: b²
ciascun rapporto altro non è che il k che ha definito Reversi o anche la costante di proporzionalità.
Dalla catena di rapporti posso scrivere:
C/A = c²/a² da cui: C*a²=c²*A
C/B = c²/b² da cui: C*b²=c²*B
C/C = c²/c² da cui: C*c²=c²*C
Alla prima equazione sommo la seconda e sottraggo la terza ottenendo:
C*(a²+b²-c²) = c²*(A+B-C)
ma la quantità (a²+b²-c²)= 0 per il teorema di Pitagora, quindi
c²*(A+B-C)=0
da cui
A+B-C=0
ed infine
A+B=C. -
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Voglio dire a chiusura del post che io non sono proprio sicuro di aver dimostrato l'assunto.
Alla fine l'ho buttata lì. Ma penso di aver utilizzato una espressione ovvia come 0=0 pretendendo di aver dimostrato chissà che...... -
.Voglio dire a chiusura del post che io non sono proprio sicuro di aver dimostrato l'assunto.
Alla fine l'ho buttata lì. Ma penso di aver utilizzato una espressione ovvia come 0=0 pretendendo di aver dimostrato chissà che.....
Concludendo:
parte seria:
possiamo quindi estendere il teorema di Pitagora affermando che continua a valere non solo per le aree dei quadrati costruiti sui lati ma anche per le aree di qualsiasi figura simile a forma di scarabocchio costruita sui lati o anche su una frazione stabilita dei lati.
Possiamo inoltre affermare che ogni volta che i rapporti tra aree di figure anche non simili stanno nello stesso rapporto dei quadrati di una terna pitagorica, vale ancora A+B=C
Per esempio 1, 0.8²; 0.6² ( o anche 5²/5²; 4²/5²; 3²/5² quindi la terna 5, 4, 3, o anche 5²/4; 4²/4; 3²/4 sempre stessa terna o semplicemente 5²; 4²; 3²)
Per figure regolari, come per esempio tre esagoni costruiti sui lati, l'intuito viene agevolato dalla facilità con cui possiamo calcolare le aree dipendendo esse da un fattore fisso proprio della famiglia delle figure (pensiamo al numero fisso relativo alle aree dei poligoni regolari con cui alle medie ci spiegarono come calcolare l'area di un pentagono o di un esagono). Per le figure regolari possiamo quindi facilmente confermare la validità di Pitagora.
Per le figure a "scarabocchio" l'intuito ci fa pensare che non può essere altrimenti, ma la difficoltà nel calcolo delle aree non ci permette la immediata verifica e fino a quando non lo verifichi una volta il dubbio ti resta.
Parte scherzosa: quando mi è venuta in mente la particolarità della faccenda pensando proprio alla sagoma di un cammello e mentre la disegnavo sui lati del triangolo, mi veniva da ridere.
Edited by afazio - 29/6/2016, 19:24. -
.Non sono d'accordo con Reversi.
La costante di proporzionalità lineare k diventa per le aree un k².
no.
tutto dipende da come definisci k. io l'ho definito come rapporto tra 2 aree (e non tra 2 lunghezze) perché l'area del cammello è un'incognita che non potevo certo calcolare come prodotto base*altezza. così, per sconosciuta che era, e senza calcolarla, l'ho rapportata al quadrato del lato.
quindi la costante di proporzionalità è k.. -
.Non sono d'accordo con Reversi.
La costante di proporzionalità lineare k diventa per le aree un k².
no.
tutto dipende da come definisci k. io l'ho definito come rapporto tra 2 aree (e non tra 2 lunghezze) perché l'area del cammello è un'incognita che non potevo certo calcolare come prodotto base*altezza. così, per sconosciuta che era, e senza calcolarla, l'ho rapportata al quadrato del lato.
quindi la costante di proporzionalità è k.
Lo avevo già segnalato:
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.Non sono d'accordo con Reversi.
La costante di proporzionalità lineare k diventa per le aree un k².
no.
tutto dipende da come definisci k. io l'ho definito come rapporto tra 2 aree (e non tra 2 lunghezze) perché l'area del cammello è un'incognita che non potevo certo calcolare come prodotto base*altezza. così, per sconosciuta che era, e senza calcolarla, l'ho rapportata al quadrato del lato.
quindi la costante di proporzionalità è k.
Lo avevo già segnalato:
Pensandoci meglio occorre specificare.
Anche se per la questione in esame la cosa non è rilevante, nel senso che non si modificano ne calcoli ne conclusione, è necessario puntualizzare che il rapporto
k=I/i² non è la costante di proporzionalità.
Se io infatti decidessi di rapportare l'area del cammello al quadrato della lunghezza della sua coda otterrei altro rapporto diverso.
La costante di proporzionalità è definita come il rapporto tra due elementi lineari corrispondenti nella similitudine. Quindi la costante di proporzionalita tra la figura del cammello A ed la figura del cammello C sarebbe
k = c/a
oppure
k=misura della coda di C /(misura della coda di A)
Poi, nella proporzionalità delle aree interviene il quadrato della costante k, quindi
C/A = k² = c²/a² = (misura della coda di C)²/(misura della coda di A)². -
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la mia dimostrazione preferita del teorema di pitagora.
si prende un triangolo rettangolo qualsiasi, lo si ruota di 90° e si costruisce la figura che segue:
la figura in questione è chiaramente un trapezio di base maggiore (b), base minore (a), altezza (a+b).
la sua area A, applicando la nota formula, sarà data da:
A = (a+b)(a+b)/2 = (a2 + 2ab + b2)/2 = (a2 + b2)/2 + 2(ab)/2
l'area dei due triangoli rettangoli è chiaramente 2(ab)/2 quindi l'area che residua, pari a (c2)/2, vale (a2 + b2)/2.
q.e.d.. -
.Teorema di Pitagora:
..Verba volant, scripta volant, arena consolidatur
Teorema di Pitagora sulla Sabbia:
Niente nozioni di trapezi, o di area dei trapezi, ma un bel disegno tracciabile sulla sabbia con un legnetto, sicut probabilmente faceva Pitagora.
Il disegno su proposto parla a solo, se confrontato con il mio postato qui sotto.
Nel contempo si dimostra il quadrato di un binomio.
Basta guardare per capire. niente dimostrazioni!
Ecco : https://youtu.be/DYDLFDRHZnM
In onore di Pitagora, al passo di Chopin!
(naturalmente questa tacita dimostrazione diretta e' mia)
Di dimostrazioni del Teorema di Pitagora ne esistono migliaia diverse.
Intanto la dimostrazione del quadrato del binomio sotto forma grafica, ricordo di averla vista la prima volta ai miei tempi delle scuole medie, quindi nulla di originale o di particolare nella immagine che posti a destra.
Ma credo anche di aver visto tra le mille diverse dimostrazioni del Teorema di Pitagora anche quella che mostri nella sabbia. Magari non era stata chiamata con "dimostrazione sulla sabbia" ma penso che anche se fosse stata tracciata su una finestra piena di condensa sarebbe stata la stessa cosa.
Sembra che questa dimostrazione sia quella di Pomi denominata anche dei quadrati concentrici.Attached Image
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.Mi sembra di aver affermato che la mia dimostrazione sicuro fu fatta sulla sabbia da Pitagora, se e' vera la tua citazione.
Ricordo al liceo classico , in filosofia, che Pitagora impediva ai suoi discepoli di proferir parola per almeno 10 anni.
Per tale motivo ho messo Chopin.
Per il resto mi sembra di aver scritto in modo chiaro che e' un bel disegno tracciabile sulla sabbia con un legnetto, sicut probabilmente faceva Pitagora.
Non comprendo quindi quest'ultimo commento, sicuro per mia ignoranza.
Del resto dai due disegni accostati, uno studente delle elementari o delle medie puo' capire la differenza tra geometrie euclidee e non euclidee, potendolo tracciare su superfici curve per es la superficie di una sfera: la congruenza geometrica resta salva ma non la forma euclidea
Sei certo che Pitagora illustrasse il teorema sulla sabbia perchè non aveva specchi in bagno pieni della condensa della recente doccia, oppure perchè non aveva altro posto dove poter tracciare qualcosa?
Al di la del posto dove avrà potuto illustrare il teorema e al di la di tutte le leggende che narrano come Pitagora scopri quella relazione (si parla per esempio di mattonelle rotte), io invece mi sono soffermato sul fatto che hai scritto che questa dimostrazione è tua, ricordando invece di averla vista da qualche parte. E cercando scopro anche una tua richiesta su wikipedia per inserire questa "tua dimostrazione" tra le mille.
Mi sovviene in mente quando un giorno di molti anni fa spedii alla settimana enigmistica un enigma che pensavo fosse originale, salvo poi a scoprire dalla risposta della rivista, che qualcun altro l'aveva composto prima di me.. -
.Le cose vengono sempre dimostrate nel mondo, contemporaneamente da piu' persone.
Si, esatto,capita che vengano dimostrate contemporaneamente da più persone ... contemporanee.
NO. Farinofago. -
Ingcapp .
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Frustra fit per plura quod fieri potest per pauciora. .
Il teorema dei tre cammelli |
