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mentre affettavo il salame mi è venuto in mente questo quesito:
si abbia un cilindro di lunghezza illimitata e se ne tagli un tronco finito mediante due tagli piani arbitrariamente inclinati; esiste un piano passante per l'asse che divide il volume esattamente in due? si riesce a dimostrare la risposta?
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Ipotizzando un cilindro di base circolare e se i due piani di taglio sono paralleli, sì (dovrebbe essere qualunque piano passante per l'asse), se non sono paralleli devo ragionarci, ma così a colpo d'occhio penso di sì: i 2 piani, se non paralleli, si intersecano e formano una retta intersezione. Se prendiamo, da tale retta il punto più vicino all'asse e creiamo un piano passante per tale punto e l'asse, dovrebbe dividere a metà il cilindro. Dovrebbe funzionare sempre, poiché dovrebbe essere sempre possibile mettersi in una vista perpendicolare alla retta intersezione fra i piani.
EDIT: facendo una piccola prova, quello che ho scritto sopra è vero per due piani che hanno le rette di massima pendenza (passanti per l'asse) complanari, mentre non è vero se i due piani non le hanno complanari (tale piano, fra l'altro, è quello cercato)
Edited by Jagermeister - 28/12/2020, 12:25
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Senza perdere in generalità sia l’asse del cilindro (circolare) coincidente con l’asse z. Se i due piani 𝛂1 e 𝛂2 non sono paralleli siano essi
z = m1x + n1y + q1,
z = m2x + n2y + q2.
Sia r la retta d’intersezione tra 𝛂1 e 𝛂2.
Bisogna distinguere due casi: 1°) r interseca il cilindro; 2°) r è esterna al cilindro.
Cominciamo col secondo caso: r esterna al cilindro. Consideriamo la generica direttrice s del cilindro (la retta parallela all’asse giacente sul cilindro) Essa è individuata da un angolo 𝛝. Siano P1 e P2 i due punti in cui s(𝛝) interseca 𝛂1 e 𝛂2. Esiste un valore 𝛝min per cui la distanza P1 P2 è minima. Il piano passante per l’asse e per s(𝛝min) è il piano cercato.
Il caso in cui r interseca il cilindro è un po’ meno semplice.
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CITAZIONE (MateMao @ 28/12/2020, 13:14) Il piano passante per l’asse e per s(𝛝min) è il piano cercato.
e questo piano divide il volume in due parti uguali?
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Sì. Senza perdere in generalità puoi prendere l’equazione del cilindro come
x^2 + y^2 = 1.
Dopo aver trovato 𝛝min, puoi fare una rotazione di assi in modo da portare la direttrice s(𝛝min) a coincidere con la retta
x = 1, y = 0.
Questo significa far coincidere l’angolo 𝛝min con l’angolo 0 della circonferenza goniometrica. A quel punto il piano dicotomico è il piano
y = 0.
Che esso divida il volume in due parti uguali è evidente per ragioni di simmetria.
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CITAZIONE (MateMao @ 29/12/2020, 12:05) Che esso divida il volume in due parti uguali è evidente per ragioni di simmetria.
posso anche credere che questo piano sia la soluzione, ma non vedo la simmetria.
il che mi fa pensare che la soluzione vada dimostrata in maniera un po' più estesa.
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Prova a capovolgere il problema. Parti dal cilindro
x^2 + y^2 = 1.
Intersecalo con i piani
𝛂1: z = m1 x + p1,
𝛂2: z = m2 x + p2.
Qualunque sia la situazione di partenza, con riduzioni, rotazioni e traslazioni puoi ricondurti alle equazioni indicate.
A questo punto il piano dicotomico è chiaramente
y = 0.
Lo si vede perchè la y non compare nelle equazioni dei piani e quindi è chiaro che vale la simmetria rispetto al piano y = 0. La y compare solo nell’equazione del cilindro che, vista nel piano xy, è una circonferenza, quindi simmetrica sia rispetto all’asse x che all’asse y. Probabilmente va bene anche nel caso in cui la retta r di intersezione dei piani 𝛂1 e 𝛂2 intersechi il cilindro.
Mi piacerebbe mandarti dei disegni, ma non so come fare. Se mi puoi suggerire in modo chiaro come procedere te li mando.
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se i due piani che definiscono le facce sono arbitrari, quando 𝛂1 ha l'equazione che scrivi, l'altro piano ha un'equazione in cui compare inevitabilmente la y.
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Hai ragione. Mi sono sbagliato. La versione corretta era la prima nella quale i due piani erano generici. Ho un file pdf con le figure. Come faccio a mandartelo?
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allegalo al post. sotto al box di risposta ci sono i link da cliccare per inserire gli allegati e le immagini.
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Spero che vada bene. File Allegato
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secondo me, tu continui a non voler capire che i due piani che definiscono il tronco oggetto di studio hanno inclinazione qualsiasi ossia, detto in altro modo: le rette di massima pendenza delle due facce opposte del cilindro sono arbitrariamente sghembe.
se ti può essere più facile visualizzarle, assumi che siano perpendicolari.
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Sì, mi è chiaro. Sto lavorando su una nuova simmetria. Quella che si ottiene considerando il cerchio di proiezione del cilindro sul piano xy diviso in due parti: quella che va da 𝛝max a 𝛝max+𝛑 e quella che va da 𝛝max-𝛑 a 𝛝max. Sto cercando di calcolare i due integrali di volume per dimostrare che sono uguali. I due piani sono generici. Uno è z = m1 x + n1 y + q1. L'altro è z = m2 x + n2 y + q2. Quindi sono del tutto generici.
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Ho completato la dimostrazione del piano assiale dicotomico di un cilindro (il salame del papa), ma non trovo più la graffetta per allegare il file. Che fine ha fatto?
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non devi usare il box di risposta rapida ma cliccare sull'opzione "rispondi", in modo da rispondere in una nuova pagina.
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