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posto un quesito che non ha alcuna velleità, né applicazione pratica. semplicemente mi è frullato in testa e lo espongo.
supponiamo di trovarci in un punto qualunque, al finito, di una retta. sappiamo che questa avrà un punto all'infinito, che rappresenta (secondo la geometria proiettiva) la sua direzione. ovviamente, non vi sono dubbi sull'unicità del punto all'infinito, che perciò sarà sempre lo stesso, sia che guardiamo da una parte, sia che guardiamo dall'altra.
mi chiedo: cosa succede se si attraversa il punto all'infinito?
cioè: se supponiamo di sparare un proiettile capace di viaggiare fino all'infinito lungo la retta, una volta che questo avrà attraversato il punto all'infinito tornerà verso di noi dall'altra parte?
mi sono risposto che se quel punto è all'infinito, il proiettile non lo raggiungerà mai e perciò la domanda cade nel vuoto, non essendo men che meno possibile attraversarlo.
e se - a livello di astrazione - si volesse immaginare che tale punto sia raggiunto, cosa succederebbe dopo?
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E le geometrie non euclidee?
Poincarè ha "inventato" una geometria in cui la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore di 180°.
Lobacesvskij invece ne ha inventata un'altra in cui la suddetta somma è sempre inferiore a 180°.
Nel primo caso è come se il piano fosse una sfera e una retta un qualsiasi cerchio (non necessariamente di raggio massimo) sulla sfera stessa.
Nel secondo la rappresentazione "3D" è un po' più ostica visto che il piano sarebbe un paraboloide iperbolico (forse) e le rette.....
Ma questo per dire che le entità euclidee sono in realtà cose astratte che possono essere gestite in maniera "sensoriale" (un foglio di carta è un piano, una retta è una linea "diritta" - e mi darai tu la definizione di "diritta" - ecc.) alla portata delle nostre menti "elementari", oppure essere definite in maniera del tutto differente. Come hanno fatto Poincarè e Lobacesvskij.
Tra l'altro le loro geometrie sono nate proprio per rispondere al V postulato di Euclide che ha tenuto occupate le menti dei matematici per oltre 2000 anni.
Qui un link per chi volesse leggere qualcosa in proposito: http://www.lidimatematici.it/blog/2010/11/...ambio-il-mondo/
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conosco le geometrie non euclidee ma il mio quesito è di geometria proiettiva, cioè un'estensione della geometria euclidea (che rimane euclidea) al fine di includere anche i punti all'infinito (e quindi ci saranno rette all'infinito, piani all'infinito, anche cerchi, come, ad esempio, è il cosiddetto cerchio assoluto dello spazio).
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Non sono molto ferrato, ma la geometria proiettiva, non è la euclidea "deformata" per introdurre la prospettiva?
La geometria euclidea prevede il concetto di infinito, no?
Rimaniamo quindi nella geometria euclidea, faccio una domanda: il punto all'infinito, dice reversi "unico, che rappresenta la sua direzione".
Poi ipotizza un astratto proiettile lanciato lungo la retta.
Però io ora se di proiettili ne immagino due, entrambi sulla stessa direzione della retta, ma con i versi opposti...
Questi due proiettili raggiungerebbero entrambi il solito punto all'infinito? Io direi di no, sbaglio? C'è un punto all'infinito "a destra" e uno "a sinistra", da cui verso e direzione sono concetti distinti.
Se poi la geometria è non euclidea e si può quindi "richiudere su se stessa"... se poi si pensa che probabilmente l'universo è una bolla... allora in tal caso il proiettile tornerà su se stesso.
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Eppure, quando al liceo ho studiato le funzioni ed in particolare gli asintoti verticali, mi veniva da pensare proprio quello che ha cercato di dire reversi, e questo senza alcun ricorso a teorie di proiettività o di geometrie non euclidee, ma solo alla fantasia.
Fantasticavo che la curva arrivasse a più infinito, che li, in quel luogo inesplorabile, avvenisse il passaggio dall'infinito positivo a quello negativo e che quindi la curva risalisse proveniendo dal meno infinito.
Immaginazioni di ragazzo liceale.Attached Image
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CITAZIONE (TDoes @ 26/4/2022, 22:01) Rimaniamo quindi nella geometria euclidea, faccio una domanda: il punto all'infinito, dice reversi "unico, che rappresenta la sua direzione".
Poi ipotizza un astratto proiettile lanciato lungo la retta.
Però io ora se di proiettili ne immagino due, entrambi sulla stessa direzione della retta, ma con i versi opposti...
Questi due proiettili raggiungerebbero entrambi il solito punto all'infinito? Io direi di no, sbaglio? C'è un punto all'infinito "a destra" e uno "a sinistra", da cui verso e direzione sono concetti distinti.
il punto all'infinito è uno solo e deriva dal fatto che l'equazione della retta è lineare (leggi: di primo grado).
se io metto a sistema due equazioni lineari la soluzione è unica e rappresenta proprio il punto di intersezione delle due rette.
se le due rette sono parallele, la soluzione non esiste nella geometria euclidea (matematicamente, la matrice dei coefficienti ha determinante nullo) ma esiste nella geometria proiettiva (che è una euclidea ampliata con i punti cosiddetti "impropri"). la soluzione è ancora unica ed è costituita da un punto all'infinito.
cos'hanno in comune due rette parallele? la direzione!
ecco dunque che il punto all'infinito rappresenta la direzione.
in pratica, la direzione può essere espressa numericamente dalle coordinate del punto all'infinito di tutte le rette parallele alla retta data.
altre due rette parallele ma diversamente orientate avranno in comune un diverso punto all'infinito: hanno cioè una diversa direzione.
l'insieme di tutti questi punti all'infinito costituisce a sua volta una retta, che rappresenta la giacitura del piano.
due piani paralleli hanno in comune una sola retta, in questo caso all'infinito, che rappresenta la loro comune giacitura.
tornando quindi alla retta, il punto all'infinito è unico e si può raggiungerlo sia procedendo in un verso che in un altro. ha senso pensare che questo punto possa essere attraversato come qualunque altro punto al finito?
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io che sono super ignorante in merito, non saprei proprio immaginare null'altro come risposta, se non quella di Afazio che - fantasia per fantasia - si concludeva che gli asintoti non sono altro che un moto periodico all'infinito! Per altro, la risposta me la immagino ricorrendo alla famosa teoria della relatività di Einstein "comprimendo lo spazio"
OK.... ho detto la mia c...... quotidiana. 
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CITAZIONE (reversi @ 26/4/2022, 23:24) tornando quindi alla retta, il punto all'infinito è unico e si può raggiungerlo sia procedendo in un verso che in un altro. ha senso pensare che questo punto possa essere attraversato come qualunque altro punto al finito?
Raggiungerlo no, ma attraversarlo sì. Senz'altro.
(raggiungerlo no perché non saprei misurare la distanza da esso).
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La labilità di un arco a 3 cerniere si verifica quando le tre cerniere sono allineate.
Pattino, manicotto e i vari "bipendoli" consentono possibilità di rotazione attorno ad un punto all'infinito.
Solo con l'ausilio della retta impropria, che unisce tutti i punti all'infinito senza passare al finito,
è possibile affermare che un arco a 3 cerniere deve avere sempre almeno una cerniera in un punto al finito, per non essere labile.
Questa un'applicazione pratica dell'utilizzo di punti all'infinito .
saluti
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CITAZIONE (reversi @ 26/4/2022, 16:11) ... mi è frullato in testa e lo espongo.
se te non avessi mai conosciuto, e poi frequentato con passione, Ingcapp,
mai e poi mai avresti pensato e fatto un post come questo.
(il post l'ho letto appena dopo che lo hai inviato).
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CITAZIONE (Salvatore A. @ 4/5/2022, 19:05) (il post l'ho letto appena dopo che lo hai inviato).
(... quanti minuti dopo?)
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Io mi sono sempre immaginato il punto all'infinito come una sorta di circonferenza. Visto che l'avete citato, prendiamo Poincaré e immaginiamo una sfera e la sua geometria. Poi una sfera più grande. Poi una più grande ancora. E così via. Alla fine, somiglierà sempre di più ad una geometria euclidea (almeno localmente), pertanto possiamo vedere il punto all'infinito come una circonferenza, un meridiano di una geometria sferica, ma con una sfera di raggio infinito. Il proiettile quindi ritornerà sempre su sé stesso. Il problema di questa rappresentazione è che il proiettile ritornerebbe sui suoi passi, anche "localmente".
Altrimenti, se si vuole restare nel piano, posso immaginare un punto all'infinito come facente parte di una circonferenza di raggio infinito. Con tale schema mentale, il proiettile, una volta arrivato all'infinito, vi resterebbe per sempre. In pratica il punto all'infinito, o meglio l'insieme degli infiniti punti all'infinito, in un'ipotetica flatland, sarebbe l'orizzonte.
Un dubbio che poi non ricordo come affrontare: ha veramente senso fare una differenza fra punti impropri all'infinito? Da un punto di vista intuitivo certo, perché sono direzione diverse. Ma da un punto di vista "manipolativo"? Cioè se ho due rette parallele nella direzione A, e due rette parallele nella direzione B, si incontreranno rispettivamente nei punti impropri Ainf e Binf: ma ha veramente senso da un punto di vista pratico fare la differenza fra Ainf e Binf? Mi pare di no ma non sono sicuro. Alla fine, nessuno dei due punti è mai identificato o conosciuto, pertanto non dovrebbe fare differenza se confondiamo i due.
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CITAZIONE (Jagermeister @ 5/5/2022, 05:54) Un dubbio che poi non ricordo come affrontare: ha veramente senso fare una differenza fra punti impropri all'infinito? Da un punto di vista intuitivo certo, perché sono direzione diverse. Ma da un punto di vista "manipolativo"? Cioè se ho due rette parallele nella direzione A, e due rette parallele nella direzione B, si incontreranno rispettivamente nei punti impropri Ainf e Binf: ma ha veramente senso da un punto di vista pratico fare la differenza fra Ainf e Binf? Mi pare di no ma non sono sicuro. Alla fine, nessuno dei due punti è mai identificato o conosciuto, pertanto non dovrebbe fare differenza se confondiamo i due.
sì, ha senso fare una differenza fra punti all'infinito perché hanno coordinate (improprie) differenti, quindi sono effettivamente differenti.
del resto, due piani si incontrano in una retta e se sono paralleli si incontrano in una retta all'infinito: ciò implica che la retta all'infinito contenga infiniti punti ognuno differente dall'altro (non può esserci una retta con un solo punto).
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CITAZIONE (afazio @ 4/5/2022, 20:30) (... quanti minuti dopo?)
mi sono riletto proprio adesso il post di apertura e vi ho intravisto un bel tormento, che imprigiona il cervello.
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CITAZIONE (Salvatore A. @ 5/5/2022, 20:51) mi sono riletto proprio adesso il post di apertura e vi ho intravisto un bel tormento, che imprigiona il cervello.
ma... proprio adesso adesso?
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24 replies since 26/4/2022, 15:11 784 views
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