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Le varie formule relative al calcolo del carico limite di una fondazione prevedono praticamente solo forme rettangolari, solo Terzaghi, la cui formulazione è la piu povera, ha previsto una sorta di correzione per fondazioni circolari.
E' usuale, nel caso di fondazioni diverse dalla rettangolare, trasformare la forma in una sorta di fondazione rettangolare efficace e quindi utilizzare le dimensioni efficaci di questa nuova forma per il calcolo del carico limite.
Propongo di raccogliere in questo topic le procedure di trasformazione della varie forme riscontrabili, iniziando con quella circolare
P.S.: Questo topic è una estensione del topic "Hansen e Greten" trattato ---> QUI ed insieme contribuiscono alla scrittura del programma CaLifFo trattato e pubblicato ---> QUI
Edited by afazio - 23/10/2013, 09:31
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Fonte: DNV Guidelines for design of Wind Turbines . capitolo 8
(che ovviamente si rifà a teorie geotecniche dei vari autori).
Dalla figura di afazio il testo ricava l'area della porzione rossa:
Aeff=2*[R2arccos(e/R)-e*radq(R2-e2)]
Dove R è il raggio del cerchio, e l'eccentricità del carico rispetto al centro del cerchio.
Si ricavano ordunque le dimensioni massime e minime della doppia losanga di cui sopra:
be=2(R-e)
le=2R*radq(1-(1-be/(2R))2)
ed infine:
leff=radq(Aeff*le/be)
beff=leff*be/le
Adesso, ma solamente per curiosità, vediamo che succede se l'eccentricità e vale 0.
Dalla formula per il calcolo dell'area, otterremo l'area del cerchio intero (come doveva essere ovvio), ovvero:
Aeff=pi*R2
Le dimensioni be ed le sono identiche e valgono 2R (il loro rapporto è dunque pari ad 1.0)
Ed infine leff e beff valgono:
leff=R*radq(pi)
beff=leff=R*radq(pi)
Ovvero circa 1.77*R
Potrebbe questa 'formulazione' essere utilizzata per tutte le teorie, nel caso di carico perfettamente centrato, ovvero trasformando la eventuale fondazione di sezione circolare in una quadrata?
Ed applicare poi a questa 'forma' quadrata i fattori di forma correttivi delle varie teorie?
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CITAZIONE (zax2010 @ 4/12/2012, 12:44) Fonte: DNV Guidelines for design of Wind Turbines . capitolo 8
(che ovviamente si rifà a teorie geotecniche dei vari autori).
Dalla figura di afazio il testo ricava l'area della porzione rossa:
Aeff=2*[R2arccos(e/R)-e*radq(R2-e2)]
Dove R è il raggio del cerchio, e l'eccentricità del carico rispetto al centro del cerchio.
Si ricavano ordunque le dimensioni massime e minime della doppia losanga di cui sopra:
be=2(R-e)
le=2R*radq(1-(1-be/(2R))2)
ed infine:
leff=radq(Aeff*le/be)
beff=leff*be/le
Adesso, ma solamente per curiosità, vediamo che succede se l'eccentricità e vale 0.
Dalla formula per il calcolo dell'area, otterremo l'area del cerchio intero (come doveva essere ovvio), ovvero:
Aeff=pi*R2
Le dimensioni be ed le sono identiche e valgono 2R (il loro rapporto è dunque pari ad 1.0)
Ed infine leff e beff valgono:
leff=R*radq(pi)
beff=leff=R*radq(pi)
Ovvero circa 1.77*R
Potrebbe questa 'formulazione' essere utilizzata per tutte le teorie, nel caso di carico perfettamente centrato, ovvero trasformando la eventuale fondazione di sezione circolare in una quadrata?
Ed applicare poi a questa 'forma' quadrata i fattori di forma correttivi delle varie teorie?
Per la seconda domanda non saprei risponderti, tuttavia mi sovvengono i coefficienti riduttivi (o amplificativi) di forma di terzaghi relativi alla fondazione circolare. Che possa esserci un qualche legame tra sc=1.3 per fondazioni circolari e quadrate con il radq(2) ?
Ho scritto una funzione da poter utilizzare nell'ambito del foglio di calcolo che fissato il raggio e l'eccentricità restituisce, scrivendolo nella cella chiamante, Beff oppure Leff o ancora Aeff in base al valore del flag passato.
CODICE Public Function Aeff_circolare(R As Double, e As Double, flag As Integer) As Variant
Dim Aeff As Double
Dim Be As Double
Dim Le As Double
Dim Beff As Double
Dim Leff As Double
Dim teta As Double
' controllo i valori dell'eccentricità
If e < 0 Then e = -e
If e >= R Then
Aeff_circolare = "e>R"
Exit Function
End If
teta = ArcCos(e / R)
Aeff = 2 * (R ^ 2 * teta - e * Sqr(R ^ 2 - e ^ 2))
Be = 2 * (R - e)
Le = 2 * Sqr(R * R - e * e)
Leff = Sqr(Aeff * Le / Be)
Beff = Leff * Be / Le
Select Case flag
Case 1 ' restituisco Beff
Aeff_circolare = Beff
Case 2 ' restituisco Leff
Aeff_circolare = Leff
Case 3 ' restituisco Aeff
Aeff_circolare = Aeff
End Select
End Function
Mancando in VBA la funzione arcocoseno, l'ho trascritta riprendendola dall'help (e modificata per evitare errore di divisione per zero):
CODICE Public Function ArcCos(X As Double) As Double
If X = 1 Then
ArcCos = 0
Exit Function
End If
If X = -1 Then
ArcCos = 4 * Atn(1)
Exit Function
End If
ArcCos = Atn(-X / Sqr(-X * X + 1)) + 2 * Atn(1)
End Function
Se invece si vuole scriverla per utilizzarla nell'ambito di un programma piu' complesso, conviene fare restituire un valore booleano vero o falso e passargli i parametri Beff ed Leff per riferimento.
La trascriverò in un prossimo post.
Edited by afazio - 4/12/2012, 15:21
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Volevo arrivarci.
Però i fattori correttivi di forma si applicherebbero ai singoli termini della formula trinomia.
Essi derivano, è ovvio, da considerazioni sulla geometria. Però la 'conversione' non mi pare così immediata.
Ovvero partire dal numerello da me ricavato, ossia lo 1.77*R (o scrivendolo meglio 0.89*Diam) non so come si possa dunque giungere al 1.3 cui fai cenno.
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La versione della funzione utilizzabile all'interno di un codice più complesso:
CODICE Public Function Aeff_circ(R As Double, e As Double, ByRef Beff As Double, ByRef Leff As Double) As Boolean
Dim Aeff As Double
Dim Be As Double
Dim Le As Double
Dim teta As Double
' controllo i valori dell'eccentricità e del raggio
If e < 0 Then e = -e
If R <= 0 Then
Aeff_circ = False
Exit Function
End If
If e >= R Then
Aeff_circ = False
Exit Function
End If
Aeff_circ = True
teta = ArcCos(e / R)
Aeff = 2 * (R ^ 2 * teta - e * Sqr(R ^ 2 - e ^ 2))
Be = 2 * (R - e)
Le = 2 * Sqr(R * R - e * e)
Leff = Sqr(Aeff * Le / Be)
Beff = Leff * Be / Le
End Function
La funzione restituisce il valore Vero se è stato possibile calcolare le dimensioni della superficie rettangolare efficace, altrimenti restituisce il valore Falso. E' questo il caso in cui si passa un valore dell'eccentricità maggiore o uguale al raggio oppure un raggio negativo o nullo.
Nel caso di esito positivo, si ritroveranno i valori calcolati di Beff ed Leff nelle due variabili passate per riferimento.
Edited by afazio - 4/12/2012, 17:59
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Vista la richiesta di afazio in chat mi sono messo a determinare i fattori di forma (in condizioni drenate), per le differenti teorie fin qui esaminate, per fondazioni quadrate.
Ho utilizzato proprio le funzioni già pubblicate da afazio. Ecco le formule con rapporto L/B=1
Terzaghi: sy=1.3 - sq=1.0 - sc=1.3
Meyerhof / Brinch-Hansen: sy=1+0.1*kp(fi) - sq=1+0.1*kp(fi) - sc=1+0.2*kp(fi)
Hansen / Vesic: sy=0.6 - sq=1+tan(fi) - sc=1+Nq/Nc
EC7: sy=0.7 - sq=1+sen(fi) - sc=1.2
A parte il vasto florilegio di formule e formuline è possibile notare come quasi tutti i termini siano sempre superiori all'unità.
Inizialmente avevo delle perplessità su questo. Perchè i ricordi sarebbero che Terzaghi avrebbe "inventato" la sua formula trinomia per una fondazione nastriforme di lunghezza infinita e con un carico lineare, anch'esso infinito, sopra.
La perplessità era che una fondazione 'finita' dovesse avere dei fattori di forma con valori inferiori all'unità.
In effetti l'assunzione di Terzaghi, furbo, gli ha consentito di ricondurre e semplificare tutto lo studio ad un problema monodimensionale. Un enorme 'cilindro' di terreno che si oppone alle forze sulla fondazione nastriforme di lunghezza infinita. Senza effetti di bordo, dunque.
Quando però la fondazione diventa di lunghezza finita, anche i 'tappi' laterali di questo 'cilindro' vengono cimentati da forze che concorrono al carico limite complessivo. E l'effetto di questi tappi diventa sempre più importante man mano che la fondazione si accorcia (diminuisce la superficie laterale del volume di terreno interessato dalla rottura generale mentre i 'tappi' rimangono costanti come area).
Ok, spiegazione un pò contorta. Ma penso che mi abbiate capito.
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CITAZIONE (zax2010 @ 4/12/2012, 15:39) Ok, spiegazione un pò contorta. Ma penso che mi abbiate capito.
yes
altro tassello aggiunto al puzzle della comprensione
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Chiedo:
dove posso trovare i criteri usuali (riconosciuti) per ricavare la fondazione equivalente per altre forme di impronta?
- fondazione a doppia T
- fondazione cruciforme
- fondazione a C
- altro...
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CITAZIONE (afazio @ 4/12/2012, 19:24) Chiedo:
dove posso trovare i criteri usuali (riconosciuti) per ricavare la fondazione equivalente per altre forme di impronta?
- fondazione a doppia T
- fondazione cruciforme
- fondazione a C
- altro...
Questa è la soluzione per forma totalmente generica (raccomandazioni alle norme DIN).
La stessa che ho implementato in CAPORT
l'ho già testata su 7 fondazioni, 4 delle quali sono state realmente eseguite.
Le altre 3, per ora, sono state analizzate in Plaxis e - per quello che ho potuto vedere - i risultati (terreno omogeneo) confermano una sottostima economicamente accettabile del risultato.
bye 
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Lisa, non ce l'ho con te. Ma normalmente non sopporto le cose scritte a metà.
Lo schemino è molto bello, però se volessi applicare le formule mi blocco subito subito.
I1 ed I2, cosa sono? Inerzie?
Ancora, l'inclinazione alfa del rettangolo equivalente, da dove potrebbe essere determinato?
S cosa è? Baricentro della figura originaria?
Capisci che queste cose diventano essenziali per definire correttamente le sollecitazioni da applicare alla fondazione "trasformata".
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CITAZIONE (zax2013 @ 5/12/2012, 12:59) Lisa, non ce l'ho con te. Ma normalmente non sopporto le cose scritte a metà.
Lo schemino è molto bello, però se volessi applicare le formule mi blocco subito subito.
I1 ed I2, cosa sono? Inerzie?
Ancora, l'inclinazione alfa del rettangolo equivalente, da dove potrebbe essere determinato?
S cosa è? Baricentro della figura originaria?
Capisci che queste cose diventano essenziali per definire correttamente le sollecitazioni da applicare alla fondazione "trasformata".
J1 e J2 = momenti d'inerzia principali
alpha = angolo d'inerzia
A = area della fondazione poligonale
bye
PS: Francamente, trattandosi di notazione internazionale, accompagnata pure da disegnino mi sembrava così evidente da non richiedere legenda. Evidentemente mi sbagliavo...scusate!
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Non dare mai nulla per scontato. Tutto deve essere ben specificato.
Ad esempio in ambito internazionale il baricentro è indicato con G.
Noi magari mettiamo C (Centro di grativà) oppure M (Centro di Massa).
Internazionalmente parlando il simbolo S, che continua ancora a non essere specificato (anche se propendo per il baricentro al 97%), non l'ho mai incontrato.
E comunque tanto per giocare, e visto che, come dice afazio in chat, con i poligoni siamo avanti......
Ho provato ad inserire la geometria del poligono originario nell'ormai stra-validato programma.
Intanto da dire che nella figura sono segnati le coordinate di tutti i vertici tranne che di uno. E di questo mancante ho assegnato io "a piacere" le coordinate: 2,3
Il risultato è questo:
Ovvero gli assi principali della figura prelevata "dalle raccomandazioni alle norme DIN" sono clamorosamente errati?
Oppure potrebbe venire il dubbio che alfa non sia la rotazione degli assi principali d'inerzia?
(D'accordo, nulla cambia sulla validità del resto)
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CITAZIONE (zax2013 @ 5/12/2012, 13:52) Oppure potrebbe venire il dubbio che alfa non sia la rotazione degli assi principali d'inerzia?
(D'accordo, nulla cambia sulla validità del resto)
...è lei, è lei ...fidati.... 
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Il fatto è che negli ultimi giorni ho fatto troppe letture di testi di geotecnica su questo benedetto carico limite, ed ormai non mi fido più di nessuno.
Discorsi "inchiappati" lì, senza specificare bene le fonti, mescolando il parmigiano reggiano con il grana padano, ecc. E senza che nessuno abbia la voglia di ritornare ai testi originari dei singoli autori.
Mi fiderò. ok.
E comunque con l'esempio di figura:
a'=8.82 m
b'=6.20 m
Ovviamente l'area di questo rettangolo, è identica all'area della figura originaria.
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CITAZIONE (zax2013 @ 5/12/2012, 13:52)
giax, vedo che hai fatto un bel lavoro coi poligoni.
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28 replies since 4/12/2012, 12:30 987 views
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