-
|
| .
|
|
|
|
Mi propongo di illustrare come riuscire a far disegnare in un grafico excel la superficie classica di rottura costituita da una tratto rettilineo, da un tratto di spirale e da altro tratto rettilineo.
P.S.: Questo topic è una estensione del topic "Hansen e Greten" trattato ---> QUI ed insieme contribuiscono alla scrittura del programma CaLifFo trattato e pubblicato ---> QUI
Edited by afazio - 1/5/2016, 09:26
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
La parte a spirale della superficie di rottura è rappresentata dall'equazione in coordinate polari:
r= ro *EXP[Θ*tan(φ)]
in cui lo zero delle anomalie è l'asse che congiunge il polo P con punto di attacco della spirale (punto O dell'immagine del post precedente), mentre ro rappresenta il valore iniziale del raggio, quindi la misura del segmento PO.
Volendo assumere come anomalia iniziale il valore dell'angolo Θo compreso tra piano di fondazione e segmento PO, occorre una rotazione degli assi e l'equazione diventa:
r= ro *EXP[(Θ-Θo)*tan(φ)]
Assumendo un sistema cartesiano avente origine in P, asse x orizzontale positivo verso sinistra ed asse y verticale positivo verso il basso, l'equazione cartesiana parametrica (con parametro Θ) si scrive attraverso le due equazioni:
x = ro *EXP[(Θ-Θo)*tan(φ)]* cos (Θ)
y = ro *EXP[(Θ-Θo)*tan(φ)]* sen (Θ)
Il valore dell'anomalia e del raggio inziali dipendono dalla larghezza della fondazione e dalla ipotesi assunta nelle teoria considerata. Escludendo Terzaghi, tutte le rimanenti teorie assumono l'angolo formato tra piano di posa ed il lato esterno del cuneo attivo pari a π/4+φ. Sotto queste ipotesi, le coordinate del punto che ho indicato con O nello schema precedente valgono:
xo= B/2
yo= B/2*Tan(π/4+φ)
A questo punto note le coordinate del punto A (B;0) e del punto O, è possibile far disegnare il segmento AO
Adesso partendo dal valore iniziale di Θo=π/4+φ fino ad arrivare al valore finale Θ1=π/4+φ+π/2, suddividiamo l'angolo compreso tra Θo e Θ1 (pari a 90°) in un certo numero n di parti (per esempio in 30 parti) e determiniamo in corrispondenza del generico angolo:
Θi = Θo + (i-1)* π/(2*n)
le coordinate del punto appartenente alla spirale attraverso le equazioni:
xi = ro *EXP[(Θi-Θo)*tan(φ)]* cos (Θi)
yi = ro *EXP[(Θi-Θo)*tan(φ)]* sen (Θi)
ottenendo una tabella di coordinate xi,yi. Riportamo questa tabella nel diagramma a dispersione di punti in cui avevamo fatto disegnare il segmento iniziale.
Rimane adesso di far tracciare la retta che chiude la superficie di rottura.
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
Per tracciare il segmento che chiude la superficie di rottura è sufficiente calcolare le coordinate del punto 1 e quelle del punto 2
Le prime si determinano attraverso le equazioni:
x1 = ro *EXP[(π/4+φ+π/2-Θo)*tan(φ)]* cos (π/4+φ+π/2)
y1 = ro *EXP[(π/4+φ+π/2-Θo)*tan(φ)]* sen (π/4+φ+π/2)
o piu semplicemente indicando con
Θ1 = π/4+φ+π/2 l'anomalia in corrispondenza del punto finale della spirale:
x1 = ro *EXP[(Θ1-Θo)*tan(φ)]* cos (Θ1)
y1 = ro *EXP[Θ1-Θo)*tan(φ)]* sen (Θ1)
Le coordinate del punto 2 si determinano conoscendo le coordinate del punto 1 e sapendo che l'angolo formato tra il segmento finale della superficie di rottura e l'asse delle x vale π/4-φ/2
x2 = x1 - y1*/tan(π/4-φ/2)
y2 = 0
a breve pubblico il foglio di calcolo che esegue quanto qui illustrato.
|
|
|
| .
|
-
-
|
| .
|
|
|
|
Sulla tangenza della spirale logartimica
Intanto il link: http://www.mathesisnazionale.it/archivio-s...hesis/65_74.pdf
La spirale logaritmica gode di una 'strana' proprietà. L'angolo formato tra il raggio vettore della spirale e la sua tangente, in ogni punto, E' SEMPRE COSTANTE.
Indicato con phi tale angolo, nel documento linkato viene dimostrato che utilizzando l'espressione polare:
r= ro *EXP[Θ*k]
il valore del parametro k è proprio pari a cotg(phi).
E' questo il motivo per cui afazio nel disegnare la sua spirale ha potuto inserire al posto del parametro k il valore tan(fi).
Infatti guardando il triangolo isoscele con angoli alla base pari a 45+fi/2, si evince che il terzo angolo del triangolo (coincidente con l'angolo tra raggio vettore e curva logaritmica) varrebbe proprio pi.greco/2-fi.
Va da se che cotg(pi.greco/2-fi)=tan(fi).
E se invece gli angoli alla base del triangolo isoscele fossero stati fi?
Semplice. Il terzo angolo del triangolo varrebbe pi.greco-2*fi, ed il parametro k che 'aggiusta' la tangente vale proprio cotg(pi.greco-2*fi).
E con questo si potrà disegnare anche la spirale logaritmica per le superfici di rottura Terzaghi nel caso di fondazioni superficiali.
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
| |
zax, non riesco a disegnare la superficie di Terzaghi, se ci riesci tu batti un colpo.
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
Anch'io ho avuto gli stessi tuoi problemi. Ci ho rinunciato, non avendo capito perchè.
Però ho implementato la superficie di rottura delle altre teorie. Quella funziona e funziona benissimo.
E' un piacere vedere la superficie ampliarsi o diminuirsi al variare dell'angolo d'attrito del terreno.
Così come è un piacere vedere 'degenare' la spirale logartimica in un arco di cerchio nel caso fi=0.
(Caso che con Terzaghi comunque va irrimediabilmente in overflow).
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
Forse ho trovato le spiegazioni ed il modo di tracciare anche la superficie di Terzaghi.
La spirale ha sempre l'equazione:
r= ro*EXP[teta*tan(φ)]
in cui pero' occorre meglio fissare il parametro ro e l'angolo che la spirale sviluppa dal suo punto iniziale al suo punto finale.
L'equazione deve sempre avere ad esponente il fattore tan(φ) poiche proprio questo tan(φ) rappresenta la tangente dell'angolo (costante) formato tra raggio della spirale nel generico suo punto e normale alla spirale condotta per lo stesso generico punto.
Questo praticamente è proprio quello che ha scoperto zax tra le proprietà della spirale mirabile, è cioe che l'angolo formato tra normale alla spirale e raggio si mantiene costante.
Quest'angolo non puo' che essere proprio l'angolo di attrito interno φ e che deriva dalla legge di Coulomb sull'attrito:
T= N* tan(φ) o in termini tensionali tau=sigma*tan(φ)
infatti se si indica con N l'azione normale nel generico punto alla superficie della spirale, la resistenza per attrito, diretta secondo la direzione tangenziale alla spirale nel punto si determina attraverso la relazione precedente.
L'anomalia della spirale nel suo punto di partenza è stata ipotizzata da Terzaghi pari all'angolo di attrito φ e con ciò ha ipotizzato che il cuneo delimitato dal triangolo isoscele sotto la base, ha comportamento rigido, come fosse una specie di estensione della fondazione al di sotto della sua base. Questo significa che non esiste condizione di tangenza nel punto iniziale.
Ho fatto delle prove per capire quanto può valere l'angolo di estensione della spirale facendo in modo tale che la retta finale sia sempre inlcinata di 45-φ/2 ed ho ottenuto
∆θ = 1.5*(pi/2-φ/2)
Ovviamente non ho certezza della correttezza di quanto ho sviluppato ma voglio comunque inserire il file excel che sviluppa e disegna la superficie
https://www.box.com/shared/a47vj0rj6k
Edited by afazio - 9/1/2013, 10:48
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
Continuando a fantasticare sulla spirale.
dato che la spirale sopra disegnata non rispetta la condizione di tangenza nel suo punto finale, quella sul punto iniziale non ci puo' essere per i motivi che ho spiegato sopra, mi sono posto il problema di calcolare l'angolo dello sviluppo della spirale affinchè venga rispettata la condizione di tangenza nel putno finale, pervenendo alla seguente soluzione:
∆θ = 3*pi/4-φ/2
Assumendo questo sviluppo angolare della spirale abbiamo i seguenti dati:
anomalia iniziale: θo=φ (ipotesi posta da Terzaghi)
raggio iniziale: ro = B/[2*cos(φ)]
sviluppo angolare: ∆θ = 3*pi/4-φ/2
anomalia finale: θ1= 3*pi/4+φ/2
equazione della spirale:
r= B/[2*cos(φ)]*EXP[θ*tan(φ)]
Ed ecco finalmente la spirale di terzaghi che rispetta tutte le ipotesi.
Chi volesse apportare le correzioni al foglio gia scaricato, deve semplicemente agire sulla cella C10 del foglio "terzaghi" sostituendo la formula li scritta con la seguente:
=3*180/4-C7/2
Edited by afazio - 9/1/2013, 12:27
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
Ed ecco, infine, le superfici di rottura nella schematizzazione semplificata di Coulomb (soluzione equilibrata ma non congruente).
Secondo questa schematizzazione si hanno due cunei al di sotto della fondazione, il primo in condizioni limite attive ed il secondo in condizioni limite passive.
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
CITAZIONE (afazio @ 9/1/2013, 11:55) Assumendo questo sviluppo angolare della spirale abbiamo i seguenti dati:
anomalia iniziale: θo=φ (ipotesi posta da Terzaghi)
raggio iniziale: ro = B/[2*cos(φ)]
sviluppo angolare: ∆θ = 3*pi/4-φ/2
anomalia finale: θ1= 3*pi/4+φ/2
equazione della spirale:
r= B/[2*cos(φ)]*EXP[θ*tan(φ)]
nel manuale ho fatto un piccolo errore, inserendo un simbolo per un altro.
il raggio iniziale della spirale è ro = B/2*cos(alpha), dove alpha è l'angolo alla base del trianglo di spinta attiva.
nel caso di terzaghi l'errore non è evidente perché alpha = phi, per tutti gli altri invece alpha = 45° - phi/2.
tutto ciò deriva da semplici considerazioni trigonometriche sul triangolo rettangolo costituito dalla metà del triangolo isoscele di spinta attiva: ro*cos(alpha) = B/2
aggiungo inoltre che per terzaghi ed hansen la superficie di rottura si ferma alla quota del piano di posa perché il terreno sovrastante viene sostituito da un sovraccarico agente.
il solo meyerhof fa proseguire la superficie di rottura anche entro il terreno sovrastante il piano di posa.
questo è uno dei motivi per cui terzaghi sottostima la capacità portante.
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
CITAZIONE (reversi @ 9/1/2013, 12:31) CITAZIONE (afazio @ 9/1/2013, 11:55) Assumendo questo sviluppo angolare della spirale abbiamo i seguenti dati:
anomalia iniziale: θo=φ (ipotesi posta da Terzaghi)
raggio iniziale: ro = B/[2*cos(φ)]
sviluppo angolare: ∆θ = 3*pi/4-φ/2
anomalia finale: θ1= 3*pi/4+φ/2
equazione della spirale:
r= B/[2*cos(φ)]*EXP[θ*tan(φ)] questo è uno dei motivi per cui terzaghi sottostima la capacità portante.
diciamo che è uno dei motivi ma non il principale.
Prima di avventurarmi nel disegno delle superfici di rottura come ho fatto in questo topic, per me le varie affermazioni "questo sottostima" quell'altro sovrastima" , quello fa questo e quello ecc ecc, erano delle semplici assunzioni delle quali non riuscivo a vedere il riscontro fisico.
Guardando le diverse superfici di rotture sopra disegnate per stesso angolo d'attrito, ed atteso che è la massa che fa la differenza, è la massa che alla fine mi da la resistenza, risulta evidente che il volume coinvolto in Terzaghi è sensibilmente inferiore al volume coinvolto nelle altre.
Edited by afazio - 9/1/2013, 13:17
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
CITAZIONE (reversi @ 9/1/2013, 12:31) nel manuale ho fatto un piccolo errore, inserendo un simbolo per un altro.
il raggio iniziale della spirale è ro = B/2*cos(alpha), dove alpha è l'angolo alla base del trianglo di spinta attiva.
nel caso di terzaghi l'errore non è evidente perché alpha = phi, per tutti gli altri invece alpha = 45° - phi/2.
per tutti gli altri dovrebbe essere:
alpha = 45° + phi/2.
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
CITAZIONE (afazio @ 9/1/2013, 13:17) per tutti gli altri dovrebbe essere:
alpha = 45° + phi/2.
sì.
|
|
|
| .
|
-
|
| .
|
|
|
|
Ho riscontrato sul libro [Shallow Foundations - 2ed. 2009 (S.I.)] del prof. Das, che il modo col quale ho proceduto per disegnare la spirale di terzaghi è corretto.
Infatti, a pagina 14 la formula (2.7) riportante la determinazione del raggio finale della spirale è:
r1=ro*EXP[(0.75*pi- φ/2)*tan(φ)]
in cui, essendo l'equazione della spirale riferita al segmento ro come origine delle anomalie, l'angolo (0.75*Pi-φ/2) rappresenta proprio l'ampiezza della spirale, quella che io ho indicato con ∆θ
----------------------------
Il cerchio si chiude: esaminiamo la formula di Terzaghi relativa al fattore Nq
Nq = Exp[2 * (0.75 * pi - φ / 2) * Tan(φ)] / (2 * (Cos(pi / 4 + φ/ 2)) ^ 2)
e notiamo che uno dei fattori dell'esponente di e, è proprio l'angolo ∆θ=0.75 * pi - φ / 2
Edited by afazio - 9/1/2013, 18:20
|
|
|
| .
|
54 replies since 7/1/2013, 17:08 1933 views
.
.
.
